Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - \sen x}{x \cdot \sen x},$ siendo $\ln(1 + x)$ el logaritmo neperiano de $1 + x$ .

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Sea $f : (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (x - 1)\ln(x)$ , donde $\ln(x)$ es el logaritmo neperiano de $x$ . Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, -3/2)$ .

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Estudia la derivabilidad de la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{1 - |x|} & \text{si } x \neq -1 \text{ y } x \neq 1, \\ 0 & \text{si } x = -1 \text{ o } x = 1. \end{cases}$

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En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo $[0,2]$ la gráfica de la parábola de ecuación $y = x^2/4$ . Halla el valor de $m$ para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.
[FIGURA: Gráfica de la parábola $y = x^2/4$ en el intervalo $[0,2]$ , con dos regiones sombreadas: una entre $x=0$ y $x=1$ , y otra entre $x=m$ y $x=2$ , donde se indica un punto $m$ entre 1 y 2]

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Sea $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^2 - 2x + 2$ .

(a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 3$ .

(b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ , la recta tangente obtenida y el eje $OY$ .

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De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva $y = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1}$ $(x > 1)$ , uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima.

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
y
$C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

– (a) ¿Para qué valores de $m$ tiene solución la ecuación matricial $A \cdot X + 2B = 3C$ ?
– (b) Resuelve la ecuación matricial dada para $m=1$

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right)$
y
$X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) Siendo $I$ la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A+\lambda I$ no tiene inversa.
– (b) Resuelve el sistema $A \cdot X = 3X$ e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

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Determina razonadamente los valores de $m$ para los que el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} 2x+y+ z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}$

tiene más de una solución

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(a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 vale $-2$ ¿Cuánto vale el determinante de la matriz $4A$ ?

(b) Dada la matriz $B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$
, ¿para qué valores de $\lambda$ la matriz $3B + B^2$ no tiene inversa?

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \end{array} \right)$
y
$B = \left( \begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -3 \end{array} \right)$

halla la matriz $X$ que cumple $A \cdot X = (B \cdot A^t)^t$

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ m^2 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{array} \right)$
, se pide:

– (a) Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.
– (b) Calcula, si es posible la matriz inversa de $A$ para $m=2$

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Sea $Ln \:(1 - x^2)$ el logaritmo neperiano de $1 - x^2$ y sea $f : (-1, 1) \longrightarrow R$ la
función definida por $f (x) = Ln\: (1 - x^2 )$ . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ .

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Se sabe que la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -1$ . Conociendo además que $\int_0^1 f(x) dx = 6$ , halla $a$ , $b$ y $c$ .

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Sabiendo que las rectas

$r \equiv x=y=x \qquad y \qquad s \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = - \mu \end{array} \right.$

se cruzan, halla los puntos $A$ y $B$ , de $r$ y $s$ respectivamente, que están a mínima distancia.

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Dadas la parábola de ecuación $y = 1 + x^2$ y la recta de ecuación $y = 1 + x$ , se pide:

– (a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
– (b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

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Considera la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = (x+3) \cdot e^{-x}$

– (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f
– (b) Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica
– (c) Esboza la gráfica de f

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Sean $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
– (a) El determinante de $A^3$ .
– (b) El determinante de $A^{-1}$ .
– (c) El determinante de $2A$ .
– (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $3C_1 - C_3$ , $2C_3$ y $C_2$ .