Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Dado el sistema de ecuaciones

$\begin{cases} kx + 2y & = 3 \\ -x + 2kz & = -1 \\ 3x - y - 7z & = k + 1 \end{cases}$

(a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro $k$ .

(b) Resuélvelo para $k = 1$ .

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Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 \cos(x)$ . Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(\pi, 0)$ .

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Encuentra la matriz $X$ que satisface la ecuación $XA + A^3 B = A$ , siendo

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

y

$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

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Sea la función $f: [1, e] \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 - 8\ln(x)$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

(a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ .

(b) Calcula los extremos absolutos y relativos de la función $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(c) Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

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Sean $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = x^2 - 2x$ y $g(x) = -x^2 + 4x$ respectivamente.

(a) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

(b) Calcula el área de dicho recinto.

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Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

$\begin{cases} x - y = \lambda \\ 2\lambda y + \lambda z = \lambda \\ -x - y + \lambda z = 0 \end{cases}$

(a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro $\lambda$ .

(b) Resuélvelo para $\lambda = 0$ y $\lambda = -1$ .

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Halla el punto simétrico de $P(2,1,-5)$ respecto de la recta $r$ definida por

$\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}$

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Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x (x - 2)$

(a) Calcula las asintotas de $f$ .

(b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ .

(c) Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

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Un alambre de longitud $2$ metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.

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Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

(a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$ .

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Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (1 - x^2)e^{-x}$ . Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(-1, 0)$ .

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De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa $10$ unidades, determina las dimensiones del de área máxima.

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Sea la función $f \: : \: R \: \longrightarrow \: R$ definida por $f(x)=e^x (x^2-x+1)$

– a) Calcula $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$
– b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
– c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \qquad C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$
Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AXB = C^t$ , siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$

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El punto $M(1,-1,0)$ es el centro de un paralelogramo y $A(2,1,-1)$ y $B(0,-2,3)$ son dos vértices consecutivos del mismo.

– (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
– (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

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De un paralelogramo $ABCD$ conocemos tres vértices consecutivos: $A(2, -1, 0)$ , $B(-2, 1, 0)$ y $C(0, 1, 2)$ .

– a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
– b) Halla el área de dicho paralelogramo.
– c) Calcula el vértice $D$

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Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar.

– a) Calcule la probabilidad de que sea blanca.
– b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada?
– c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada?
– d) ¿Son independientes los sucesos "sacar bola marcada" y "sacar bola blanca"?

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccccc} x &+ y&+ kz & = & 1 \\ 2x& + ky & &= & 1 \\ &y&+ 2z & = & k \end{array} \right\}$

– a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro $k$
– b) Resuélvelo para $k=1$
– c) Resuélvelo para $k=-1$

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Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A)=0.8$ , $P(B)=0.7$ y $P(A \cup B)=0.94$
– a) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?
– b) Calcule $P(A/B)$
– c) Calcule $P(A^c \cup B^c)$

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Considera el punto $P(1,0,2)$ y la recta $r$ dada por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} 2x-y-4=0 \\y+2z-8=0 \end{array} \right.$
– a) Calcula la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$
– b) Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$

📝 Ejercicios de MatematicasII_Andalucia_2012