Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sea la función $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ -x^2 + 4x - 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$ .

a) Analice su continuidad y su derivabilidad.

b) Estudie la monotonía, determine sus extremos y analice su curvatura.

c) Represente la gráfica de la función.

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Sea la función $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$ .

a) Estudie la monotonía y calcule los extremos relativos de $f$ .

b) Estudie la curvatura y calcule el punto de inflexión de $f$ .

c) Represente gráficamente la función.

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Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x,y)=3x+5y$ , en el recinto del plano determinado por las inecuaciones:

$x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad 3x - 2y \geq 10, \quad 2x + 3y \leq 24, \quad x - 5y \geq -1.$

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Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , halle $A^{2004}$ .

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a) (1 punto) Los vértices de un polígono convexo son $(1, 1)$ , $(3, 1/2)$ , $(8/3, 5/2)$ , $(7/3, 3)$ y $(0, 5/3)$ . Calcule el máximo de la función objetivo $F(x,y)=3x-2y+4$ en la región delimitada por dicho polígono.

b) (2 puntos) Dibuje el recinto del plano definido por las inecuaciones:
$x + 2y \geq 6 \quad ; \quad x - y \leq 1 \quad ; \quad y \leq 5 \quad ; \quad x \geq 0 \quad ; \quad y \geq 0$
y determine sus vértices.

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Sea el sistema de inecuaciones

$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ 3x - 2y \leq 13 \\ x + 3y \geq -3 \\ x \geq 0 \end{cases}$

a) (2 puntos) Dibuje el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y obtenga sus vértices.

b) (1 punto) Halle los puntos del recinto en los que la función $F(x,y)=x-2y$ toma los valores máximo y mínimo, y determine éstos.

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Resuelva el sistema formado por las ecuaciones

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y - 3z = 3 \end{cases}$

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Sea la función $f(x) = \begin{cases} 9 - x^2 & \text{si } x \leq 3 \\ -2x^2 + 16x - 30 & \text{si } x > 3 \end{cases}$ .

a) Estudie su continuidad y derivabilidad.

b) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.

c) Representela gráficamente.

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a) (1 punto) Dibuje la región del plano definida por las siguientes inecuaciones:
$2x - 3y \geq -13$ , $2x + 3y \geq 17$ , $x + y \leq 11$ , $y \geq 0$ .
b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto.
c) (1 punto) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x,y) = 5x + 6y$ en la región anterior e indique en qué puntos se alcanzan.

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– a) Halle la función derivada de la función $f(x)=L \frac{x}{x+1}$ y simplifique el resultado.
– b) Obtenga las asíntotas de la función $f(x)=\frac{2x+3}{3x-1}$
– c) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$

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Sea la función $f(x)=\frac{4x-1}{2x-2}$

– a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y
represéntela gráficamente.
– b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

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Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado):

– a) $f(x)=\frac{3x-1}{x} - (5x-x^2)^2$
– b) $g(x)=(x^2-1) L x$
– c) $h(x)=2^{5x}$
– d) $i(x)=(x^3-6x) (x^2+1)^3$

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– a) Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$
– b) ¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=2x^2+3x+1$ , la recta tangente es paralela a $y=3x-5$ ?
– c) Sea $g(x)=2x^2-8x+a$ . Halle $a$ para que el valor mínimo de $g$ sea $3$