Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) (1 punto) Calcule $A^{2018} + A^{2019}$

b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $X \cdot A + B \cdot B^t = 2A$

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La edad de los empleados de una empresa sigue una ley Normal de varianza $64$ y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria simple de $16$ empleados de dicha empresa, obteniéndose las siguientes edades

$30 \quad 42 \quad 38 \quad 45 \quad 52 \quad 60 \quad 21 \quad 26 \quad 33 \quad 44 \quad 28 \quad 49 \quad 37 \quad 41 \quad 38 \quad 40$

a) Obtenga un intervalo de confianza para estimar la edad media de los empleados, con un nivel de confianza del $97\%$ .

b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la edad media de los empleados, con un error inferior a $2$ años y un nivel de confianza del $99\%$ .

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En una localidad, el $25\%$ de los habitantes asiste periódicamente a la consulta del dentista, el $10\%$ se hace una analítica y el $8\%$ hace ambas cosas.

a) Razine si los sucesos “Asistir a la consulta del dentista” y “Hacerse una analítica” son independientes.

b) ¿Qué porcentaje de habitantes ni se hace una analítica ni va al dentista?

c) Si elegimos un habitante al azar de esa localidad de entre los que no van al dentista, ¿cuál es la probabilidad de que se haga una analítica?

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Sea el siguiente sistema de inecuaciones:
$x + 2y \leq 11 \quad x \geq 2y - 5 \quad 3x + y \leq 18 \quad x \geq 0 \quad y \geq 0$
a) Represente gráficamente la región que definen y calcule sus vértices.
b) Halle los puntos de esa región en los que la función $F(x,y) = 2x + 3y$ alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.
c) Justifique si el punto $(5.5,2)$ pertenece a la región factible.

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Dada la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x+1}{1-2x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - x - a & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

a) Obtenga el valor de $a$ para que la función sea continua en $x=0$ . Para ese valor de $a$ , ¿sería derivable en $x=0$ ?

b) Para $a = 2$ , estudie su monotonía y extremos relativos.

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Se considera la región definida por las siguientes inecuaciones:
$2x - y \geq 2 \quad\quad -x + 2y \leq 2 \quad\quad 3x + y \leq 15 \quad\quad y \geq 0$
a) Representela gráficamente y determine sus vértices.
b) Indique razonadamente si el punto $(3,3)$ pertenece a dicha región.
c) ¿En qué puntos de la región anterior la función $F(x,y)=3x-2y$ alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son éstos?

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La calificación que obtiene el alumnado en una determinada asignatura sigue una distribución Normal de media $\mu$ y desviación típica 3 puntos.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 alumnos, resultando una calificación media de 5.7 puntos. Calcule un intervalo de confianza para estimar $\mu$ a un nivel de confianza del 95\%.

b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para poder estimar $\mu$ con un error máximo de 0.5 puntos y un nivel de confianza del 99\%.

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a) Calcule la derivada de las funciones

$f(x)=x\cdot ln(x) \quad \quad g(x)=\frac{e^{3x}}{x^4 +1}$

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x)=x^2+6x+5$ , en el punto de abscisa $x=-2$ . Represente gráficamente la función $h$ y la recta tangente hallada.

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Los costes de producción de una empresa, en miles de euros, dependen de la cantidad de producto fabricada $x$ , medida en toneladas, según la función $f(x)=30-9x+6x^2-x^3$ . La capacidad máxima de producción es de 2 toneladas.

a) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de costes de la empresa.

b) Determine la cantidad que la empresa debe producir para minimizar los costes. ¿Cuál sería dicho coste mínimo?

c) ¿Con qué producción la empresa tiene unos costes de producción máximos?

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El gasto que tienen los jóvenes durante un fin de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica igual a 6 euros.

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene que el intervalo de confianza al $95\%$ para la media $\mu$ es $(24.47, 26.43)$ . Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.

b) Escogida otra muestra de tamaño $49$ para estimar $\mu$ , calcule el error máximo cometido para esa estimación con un nivel de confianza del $97\%$ .

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a) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar:
"Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0.25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo".

b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices
$x \geq 0 \qquad x \leq 2y+2 \qquad x+y \leq 5$

Calcule el máximo de $F(x,y)=4x+3y$ en ese recinto, así como el punto donde se alcanza
.

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Se quiere estimar la proporción de estudiantes que asiste de forma regular al cine. Para ello, se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 300 y se obtiene que de ellos, 210 acuden con regularidad al cine.

– a) Calcule un intervalo de confianza al 92 % para estimar la proporción de estudiantes que va al cine regularmente. ¿Qué error máximo se cometería si se diera como estimación de dicha proporción 0.7?
– b) Con el mismo nivel de confianza, siendo la proporción muestral la misma, si queremos que el error sea menor que 0.02, ¿cuántos alumnos como mínimo hay que elegir en la muestra?

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Una cadena de supermercados desea estimar la proporción de clientes que adquiere un determinado producto. Para ello ha tomado una muestra aleatoria simple de 1000 clientes y ha observado que 300 compraban ese producto.

– a) Halle, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes del supermercado que compra ese producto.
– b) Si en otra muestra la proporción de clientes que compra ese producto es de 0.25 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5 %, calcule el tamaño mínimo de la muestra.

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El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función $c(t)=t^3-15t^2+63t+10$ , para $0 \leq t \leq 12$ , donde $t$ representa el tiempo.

– a) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
– b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
– c) Represente gráficamente la función.

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Se considera la función $f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x-5}{x-4} & si & x<3 \\ -x^2+7x-10 & si & x\geq 3 \end{array} \right.$

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $f$
– b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas.
– c) Calcule las asíntotas de $f$ , en caso de que existan.

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– a) Calcule la derivada de las funciones

$f(x)=e^{5x} \cdot (x^2-5)^3 \qquad \qquad g(x)=\frac{(x^3+1)^2}{ln(x^2+2)}$

– b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x)=\frac{x+10}{x+5}$ , el punto de abscisa $x=0$

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En una determinada población residen 5000 personas en el centro y 10000 en la periferia. Se sabe que el 95% de los residentes en el centro y que el 20% de los que viven en la periferia opina que el Ayuntamiento debería restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso?
c) Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?

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El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión $B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50 \end{array} \right.$
donde $t$ es el tiempo transcurrido.

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $B(t)$ en el intervalo $[0,50]$ .
– b) Estudie la monotonía de la función $B(t)$ y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
– c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

📝 Ejercicios de Matemat_Soc_Andalucia_2018