Discutir sistema en función de parámetro 4624

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Dado el sistema

\left\{ \begin{array}{c}mx+y+z=1\\x+my+z=m\\x+y+mz=m^2\end{array}\right.

– a) Discute el sistema en función de m.
– b) Resuelve el sistema, si es posible, para m = 1 y m = - 2.

SOLUCIÓN

Expresamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

A|A^* =\left( \begin{array}{ccc|c}m&1&1&1\\1&m&1&m\\1&1&m&m^2\end{array}\right)

Estudiamos el rango de ambas matrices en función de m. Para ello empezamos calculando |A|

|A|=m^3+1+1-m-m-m=m^3-3m+2

Veamos cuando el determinante vale cero.

|A|=0 \Leftrightarrow m^3-3m+2=0 \Leftrightarrow m=1, m=-2

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-3x+2}

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^2+x-2}

\polyhornerscheme[x=-2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x+2}

– Si m \neq 1 y m \neq -2 \longrightarrow |A| \neq 0\longrightarrow r(A)=3

Como r(A*)=3 y número de incógnita es también 3, por el Teorema de Rouché tenemos un S.C.D. (Sistema Compatible Determinado)

– Si m = 1 veamos como quedan las matrices

A|A^* =\left( \begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right)

Se ve claramente que r(A)=r(A^*)=1

Ambos rangos son iguales y menores al nº de incógnitas. El teorema de Rouché nos dice que es un S.C.I. (Sistema Compatible Indeterminado), cuya solución sería la siguiente:

\left\{ \begin{array}{c}x+y+z=1\end{array}\right.

\left\{ \begin{array}{c}y=\alpha\\z=\beta\\x=1-\alpha-\beta\end{array}\right. \qquad \forall \alpha , \beta \in R

– Si m = -2 quedaría

A|A^* =\left( \begin{array}{ccc|c}-2&1&1&1\\1&-2&1&-2\\1&1&-2&4\end{array}\right)

Calculamos el rango de A

|A|=\left| \begin{array}{ccc}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\right| =0
(Ya sabíamos que para m=-2 |A|=0). No hacía falta calcularlo.

\left| \begin{array}{cc}-2&1\\1&-2\end{array}\right| =3 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2

Veamos ahora el rango de la ampliada

\left| \begin{array}{ccc}-2&1&1\\1&-2&-2\\1&1&4\end{array}\right| =9 \neq 0 \longrightarrow r(A^*)=3

Como tienen rangos distintos, se trata de un S.I. (Sistema Incompatible) según el teorema de Rouché.