Ecuación con Progresión Aritmética

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Considere la siguiente igualdad:

1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}


Donde n es un número entero positivo.
Si k(x+1) + k(x+2) + k(x+3) + ... + k(x+20) = 310k, donde k es un número real distinto de cero.
Calcula el valor de x

SOLUCIÓN

Nos piden que resolvamos la ecuación:

k(x+1) + k(x+2) + k(x+3) + ... + k(x+20) = 310k


Se nos proporciona como dato la igualdad 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}, lo que nos lleva a pensar que deberemos aplicarla en algún momento del desarrollo de la ecuación.

k(x+1) + k(x+2) + k(x+3) + ... + k(x+20) = 310k


Podemos sacar factor común "k"

k \cdot \left[ (x+1) + (x+2) + (x+3) + ... + (x+20) \right]= 310k


Podemos agrupar las "x" por un lado y los números por otro.

k \cdot [ (\underbrace{x+x+ \cdots +x}_{20 \: veces}) + (\underbrace{1+2+3+ \cdots +20}_{\frac{20 \cdot (20+1)}{2}}) ]= 310k


Aplicamos la fórmula que proporciona el enunciado para n=20
1 + 2 + 3 + ... + 20 = \frac{20 \cdot (20+1)}{2} = 210

k \cdot (20x+ 210)= 310k


Ahora podemos simplificar k

20x+ 210= 310


20x = 310 - 210


20x = 100


x = \frac{100}{5} \longrightarrow \fbox{x=5}