Función temperatura de pastel

|

La temperatura de un pastel que se saca a enfriar de un horno a 200 grados centígrados, es una función del tiempo (medida en minutos) dada por

T(t)=(T_A-T_H) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + T_H


donde T_A=20 es la temperatura ambiente a la que inicialmente se colocó el pastel, T_H=200 es la temperatura del horno.

– a) Si después de 10 minutos el pastel está a 40 grados, calcula la constante k
– b) Encuentra la rapidez (en grados/minutos) con la que decrece la temperatura, cuando recién se saca del horno.
– c) Describe que pasa con la temperatura del pastel para t muy grande

SOLUCIÓN

T(t)=(T_A-T_H) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + T_H


Sustituimos en la fórmula los valores conocidos

T(t)=(20-200) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200


T(t)=(-180) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200

– a) Si después de 10 minutos el pastel está a 40 grados, calcula la constante k

T(10)=(-180) \cdot \left(1-e^{-10k} \right) + 200 = 40
Debemos resolver la ecuación para calcular k
(-180) \cdot \left(1-e^{-10k} \right) + 200 = 40
(-180) \cdot \left(1-e^{-10k} \right) = -160

\left(1-e^{-10k} \right) = \frac{-160}{-180}

1-e^{-10k}= \frac{8}{9} \longrightarrow 1- \frac{8}{9}=e^{-10k}

\frac{1}{9}=e^{-10k} \longrightarrow \frac{1}{9}=\frac{1}{e^{10k}} \longrightarrow e^{10k}=9

Ecuación exponencial que resolvemos tomando logaritmos

e^{10k}=9
Ln \: e^{10k} =Ln(9)
10k \cdot Ln (e) =Ln(9) \longrightarrow \textcolor{blue}{k=\frac{Ln(9)}{10}}

– b) Encuentra la rapidez (en grados/minutos) con la que decrece la temperatura, cuando recién se saca del horno.

Podemos calcular la rapidez como la derivada en t=0

T(t)=(-180) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200

T^{\prime}(t)=(-180) \cdot \left(0-e^{-kt} \cdot (-k)\right) +0

T^{\prime}(t)=(-180) \cdot k \cdot e^{-kt}

T^{\prime}(0)=(-180) \cdot k \cdot e^{-k \cdot 0}

\textcolor{blue}{T^{\prime}(0)=(-180) \cdot k}

– c) Describe que pasa con la temperatura del pastel para t muy grande

Calculamos el límite para t tendiendo hacia infinito
\lim_{t \rightarrow +\infty}(-180) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200=(-180) \cdot \left(1-e^{-k \cdot (+\infty)} \right) + 200 =
(-180) \cdot (1-0)+200 = \fbox{20}

Cuando pasa mucho tiempo el pastel tiende a estar a 20 grados (la temperatura ambiente)

En la siguiente gráfica se puede ver como desciende la temperatura del pastel