Hallar derivadas laterales

Comprueba si la siguiente función es derivable en el punto x=0


f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
x+1 &   si  & x \leq 0 \\
\\ x^2+1 &  si  & x > 0
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN

Para que sea derivable en x=0 deben existir las derivadas laterales y además deben coincidir.

f'(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(0+h+1) - (0+1)}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}=1

f'(0^+) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(h^2+1) - (1)}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^2}{h}=1\lim_{h \rightarrow 0}h=0

Las derivadas laterales no coinciden, por tanto no es derivable en x=0