Producto de matrices

Producto de matrices

- No siempre es posible el producto de matrices.
- Para poder multiplicar dos matrices, el nº de columnas de la primera debe ser igual al nº de filas de la segunda
- El producto de matrices no es conmutativo

Una vez que sabemos la dimensión de la matriz producto, calculamos cada uno de sus elementos de la siguiente forma:

c_{ij} \rightarrow fila i de la 1ª matriz \times columna j de la 2ª matriz

Ejemplo:
c_{23} = fila 2 de la 1ª matriz \times columna $3$ de la 2ª matriz
c_{23} = 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 12 + 10 = 22

\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2
\\ 4 & 5
\\ 7 & 8
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3
\\ 0 & 5 & 2
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13}
\\ c_{21} & c_{22} & \fbox{22}
\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{array}
\right)

Calculamos todos los elementos de la matriz producto:

\begin{array}{ccc}
c_{11}=1\cdot1+2\cdot0 & c_{12}=1\cdot2+2\cdot5 & c_{13}=1\cdot3+2\cdot2
\\ c_{21}=4\cdot1+5\cdot0 & c_{22}=4\cdot2+5\cdot5 & c_{23}=4\cdot3+5\cdot2
\\ c_{31}=7\cdot1+8\cdot0 & c_{32}=7\cdot2+8\cdot5 & c_{33}=7\cdot3+8\cdot2
\end{array}

Finalmente nos queda el resultado:

\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2
\\ 4 & 5
\\ 7 & 8
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3
\\ 0 & 5 & 2
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 12 & 7
\\ 4 & 33 & 22
\\ 7 & 54 & 37
\end{array}
\right)

Propiedades importantes:

- El producto de matrices no es conmutativo: A \cdot B \neq B \cdot A
- El producto de matrices no es simplificable:
A \cdot B = A \cdot C no implica B=C