Selectividad Andalucía 2001-2-A1

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 4 millones de pts y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo B cuesta 1 millón de pts y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje.

¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?.

SOLUCIÓN

Veamos una tabla con los datos:

aviones A aviones B restricciones inecuaciones
personas200100mínimo 1600200x+100y \geq 1600
toneladas615mínimo 966x + 15 y \geq 96
cantidadxymáximo 11 (A) y 8 (B)0 \leq x \leq 11 ; 0 \leq y \leq 8
precio4 mill1 mill

La función objetivo sería: F(x,y)=4x+y

La primera de las inecuaciones se puede simplificar (dividiendo todo por 100) y quedaría: 2x+y \geq 16

Dibujamos el recinto y calculamos los vértices

Cada uno de los vértices es la intersección de dos rectas (si resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas obtenemos los valores del vértice).

Una vez calculados obtenemos los siguientes vértices:

- A(4,8)
- B(11,8)
- C(11,2)
- D(6,4)

Aplicamos la función objetivo a cada uno de los vértices:

- F(4,8) = 4 \cdot 4 + 8 = 24
- F(11,8) = 4 \cdot 11 + 8 = 52
- F(11,2) = 4 \cdot 11 + 2 = 46
- F(6,4) = 4 \cdot 6 + 4 = 28

El coste mínimo (24 millones) se obtendría contratando 4 aviones de tipo A y 8 aviones de tipo B