Selectividad Andalucía 2001-3-A1

Calcula \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2}

SOLUCIÓN

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2} = \frac {0}{0}
Aplicamos la Regla de L’Hôpital

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x) sen \: x + (e^x-1) cos \: x}{3x^2-2x}
Vuelve a dar 0/0. Volvemos a aplicar L’Hôpital y queda:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x) sen \: x + (e^x) cos \: x+ (e^x) cos \: x+(e^x-1) (-sen \:x)}{6x-2}

Volvemos a sustituir x por 0 y esta vez ya obtenemos un resultado: \frac{2}{-2}=1

Por tanto: \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2} = \fbox{-1}