Selectividad Andalucía 2007-3-B3

Ver explicación: Vídeo nº 3086 de CiberMatex

Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccc}
x+y+z & = & 0 \\
2x+\lambda y+z & = & 2 \\
x+y+\lambda z & = & \lambda - 1
\end{array}
\right\}

- a) Determina el valor de \lambda para que el sistema sea incompatible.
- b) Resuelva el sistema para \lambda = 1

SOLUCIÓN

- a) Expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*)

 A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & \lambda & 1\\
1 & 1 & \lambda
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
\lambda-1
\end{array}
\right )

 |A|= \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & \lambda & 1\\
1 & 1 & \lambda
\end{array}
\right | = \lambda^2 -3\lambda+2

|A|=0  \Longleftrightarrow \lambda^2 -3\lambda+2=0 \Longleftrightarrow \lambda= 1 , \lambda= 2

- Si \lambda \neq 1 y \lambda \neq 2 \Longrightarrow |A| \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=3
Como rang(A*)=3 y nº incógnitas=3, según el teorema de Rouché, el Sistema es Compatible Determinaddo.

- Si \lambda = 1, las matrices serían
 A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
0
\end{array}
\right )
Ya sabemos que para \lambda = 1 el det(A)=0 (el rango de A no puede ser 3). Veamos si el rango de A vale 2:
 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2
 \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 &0\\
2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right | = 0 \Longrightarrow rang(A*)=2
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado

- Si \lambda = 2, las matrices serían
 A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 2 & 1\\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
1
\end{array}
\right )
Ya sabemos que para \lambda = 1 el det(A)=0 (el rango de A no puede ser 3). Veamos si el rango de A vale 2:
Tomamos las filas 1 y 2; columnas 2 y 3
 \left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2
 \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 &0\\
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A*)=3
Se trata de un Sistema Incompatible

Por tanto Sist. Incomp. para \lambda=2

- b) Resolvemos el sistema para \lambda = 1 (en el apartado anterior hemos visto que es Compatible Indeterminado para \lambda = 1).

Las matrices son  A|A^* = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
0
\end{array}
\right )
El determinante que daba el rango a la matriz A, era el formado tomando las 2 primeras filas y las dos primeras columnas  \left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0, por tanto eliminamos la 3ª fila y pasamos la 3ª columna a los términos independientes, quedando:
 \left.
\begin{array}{ccc}
x+y  & = & -z \\
2x+y & = & 2-z
\end{array}
\right \}
Haciendo z=t y resolviendo el sistema 2x2 obtenemos las soluciones:

\left.
\begin{array}{ccc}
x = 2 \\
y = -2-t \\
z = t
\end{array}
\right\} (con t \in R)