Selectividad Andalucía 2009-3-A4

Se considera la recta r definida por

\left\{
\begin{array}{lll}
x &=&1
\\y&=&1
\\z&=&\lambda -2
\end{array}
\right.
y la recta s definida por

\left\{
\begin{array}{lll}
x &=&\mu
\\y&=&\mu-1
\\z&=&-1
\end{array}
\right.
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s

SOLUCIÓN

Usaremos el procedimiento descrito en este vídeo

Necesitamos un punto genérico y un vector director de cada recta (es fácil obtenerlos puesto que ambas rectas vienen en ecuaciones paramétricas)

Recta r :
- punto genérico A(1,1,\lambda -2)
- vector \vec{u}=(0,0,1)

Recta s :
- punto genérico B(\mu,\mu-1,-1)
- vector \vec{v}=(1,1,0)

Construimos el vector \vec{AB}=(\mu-1,\mu-2,-\lambda+1)

Aplicamos el procedimiento: el vector \vec{AB} debe ser perpendicular a los vectores \vec{u} y \vec{v}

\vec{AB} \cdot u =0 \longrightarrow (\mu-1) \cdot 0 + (\mu-2) \cdot 0 + (-\lambda+1) \cdot 1 =0
\vec{AB} \cdot v =0 \longrightarrow (\mu-1) \cdot 1 + (\mu-2) \cdot 1 + (-\lambda+1) \cdot 0 =0

Operamos y simplificamos ambas ecuaciones, quedando
-\lambda+1=0
2 \mu -3 =0

Por tanto, \lambda=1 y \mu=3/2

Los puntos A y B don entonces A(1,1,-1) y B(3/2,1/2,-1)

Con los puntos A y B construimos la ecuación de la recta pedida: tomamos como punto A(1,1,-1) y como vector \vec{AB}=(1/2, -1/2, 0)

La recta, en paramétricas es:


\left\{
\begin{array}{lll}
x &=&1 + \frac{1}{2} t
\\y&=&1- \frac{1}{2} t
\\z&=&-1
\end{array}
\right.