Selectividad Andalucía 2011-5-A3

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A|=\frac{1}{2} y |B|=-2. Halla:
- a) |A^3|
- b) |A^{-1}|
- c) |-2A|
- d) |AB^t|
- e) rango(B)

SOLUCIÓN

Para resolver el ejercicio necesitamos recordar la propiedad |A \cdot B| = |A| \cdot |B|

- a) |A^3| = |A| \cdot |A| \cdot |A| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

- b) Sabemos que A \cdot A^{-1}=I. Por otra parte, |I|=1. Entonces:
|A \cdot A^{-1}|=|I|
|A| \cdot |A^{-1}|=1 \Longrightarrow |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{1/2}=2

- c) |-2A| = \left|
\begin{array}{ccc}
-2 \cdot a_{11} & -2 \cdot a_{12} & -2 \cdot a_{13} \\
-2 \cdot a_{21} & -2 \cdot a_{22} & -2 \cdot a_{23} \\
-2 \cdot a_{31} & -2 \cdot a_{32} & -2 \cdot  a_{33}
\end{array}
\right |
|-2A|=-2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot |A| = -8 \cdot \frac{1}{2}=-4

- d) |A \cdot B^t| = |A| \cdot |B^t|= |A| \cdot |B|=\frac{1}{2} \cdot -2=-1
(Recordemos que el determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales)

- e) |B| \neq 0 \Longrightarrow r(B)=3