Selectividad Andalucía 2012-3-B2

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:


P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
t^2 &   si  & 0 \leq t \leq 5 \\
\\ \frac{100t-250}{t+5} &  si &  t >5
\end{array}
\right.

- a) Estudie la continuidad de la función P.
- b) Estudie la derivabilidad de P en t =5.
- c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
- d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

SOLUCIÓN

Continuidad

- En (0,5) es continua por ser polinómica
- En (5,+\infty) se trata de una función racional que sólo es discontinua en t=-5 (punto que anula el denominador), por tanto en (5,+\infty) es continua
- Veamos la continuidad en t=5
P(5) =5^2 = 25
\lim_{t \rightarrow 5^-} P(t) = \lim_{t \rightarrow 5} t^2 = 5^2=25
\lim_{t \rightarrow 5^+} P(t) = \lim_{t \rightarrow 5} \frac{100t-250}{t+5} = \frac{250}{10}=25
Coinciden ambos límites, por tanto es continua en t=5.

Derivabilidad en t=5

La función derivada sería:


P'(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
2t &   si  & 0 < t < 5 \\
\\ \frac{750}{(t+5)^2} &  si &  t >5
\end{array}
\right.

Calculamos derivadas laterales en t=5

- P'(5^-) = 2 \cdot 5 = 10
- P'(5^+) = \frac{750}{(5+5)^2}=7.5
No coinciden las derivadas laterales, por tanto no es derivable en t=5

Monotonía

Dado que se trata de funciones conocidas (parábola e hipérbola), podríamos dibujarla y a vista de la gráfica determinar la monotonía. No obstante, vamos a estudiar la monotonía mediante derivadas, como si se tratase de funciones desconocidas:

- En el primer trozo P'(t)=0 \Longrightarrow 2t=0 \Longrightarrow t=0
El intervalo a estudiar es (0,5). Si tomamos un punto, por ejemplo t=2, vemos que P'(2) = 4 >0 , por tanto creciente en (0,5)
- En el segundo trozo, si hacemos P'(t)=0 \Longrightarrow \frac{750}{(t+5)^2}=0 \Longrightarrow 750=0, es decir, ninguna solución (lo cual quiere decir que será siempre creciente o siempre decreciente).
Si tomamos un punto, por ejemplo t=6, vemos que P'(6) = \frac{750}{11^2} >0 , por tanto creciente en (5,+\infty)
Concluimos que la función siempre es creciente.

El porcentaje de células sigue creciendo siempre, sin llegar nunca al 100\% pues hay una asíntota en y=100.

d) Veamos cuándo el porcentaje es de 50

Debemos mirarlo en el segundo trozo, pues el primero llega como máximo a 5^2=25

\frac{100t-250}{t+5}=50 \Rightarrow 100t-250=50(t+5) \Rightarrow t=10

A los 10 meses el porcentaje de células será del 50\%