Selectividad Murcia Septiembre 2012 A3

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Para la función f(x)= x \cdot \left( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1 \right) , se pide:
a) Dominio de definición
b) Calcule \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x). ¿Es posible calcular también \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)?. Justifique la respuesta
c) Calcule \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)

SOLUCIÓN

Dominio de f(x)= x \cdot \left( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1 \right)

Para encontrar el domino debemos tener en cuenta las condiciones siguientes:

1) x \neq 1 para evitar denominador nulo

2) \frac{x+1}{x-1} \geq 0 para evitar raíz de negativo

Resolvemos la inecuación:

x+1=0 \longrightarrow x=-1
x-1=0 \longrightarrow x=1
Los intervalos a considerar son los siguientes:

(-\infty,-1) (-1,1) (1,+\infty)

Tomamos un punto de cada intervalo y comprobamos si cumple la inecuación
-2 \in (-\infty,-1) \longrightarrow \frac{-2+1}{-2-1} = \frac{-}{-} \longrightarrow +

0 \in (-1,1) \longrightarrow \frac{0+1}{0-1} = \frac{+}{-} \longrightarrow -

2 \in (1,+\infty) \longrightarrow \frac{2+1}{2-1} = \frac{+}{+} \longrightarrow +

Tenemos entonces

(-\infty,-1) (-1,1) (1,+\infty)
+ - +

Finalmente comprobamos si los extremos -1 y +1 cumplen la inecuación.

La solución de la inecuación es (-\infty,-1] \cup (1,+\infty), por tanto el dominio es:
Dom(f)=\textcolor{blue}{(-\infty,-1] \cup (1,+\infty)}

apartado b

\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x) = 1 \cdot \left( \sqrt{\frac{1+1}{0^+}}-1 \right) = 1 \cdot (\sqrt{+\infty} -1) = +\infty

\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x) no se puede calcular porque la función no está definida a la izquierda de 1

apartado c

\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty \cdot (1-1) = +\infty \cdot 0 INDETERMINACIÓN

Operamos la función a ver si conseguimos quitar la indeterminación

x \cdot \left( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1 \right)= x \cdot \left( \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}-1 \right)=\frac{x \cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}-x =

\frac{x \cdot \sqrt{x+1} -x \cdot \sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}} =\frac{x \cdot (\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})}{\sqrt{x-1}} =
[multiplicamos y dividimos por el conjugado]

\frac{x \cdot (\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) \cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x-1} \cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})} =

\frac{x \cdot [(x+1)-(x-1)]}{\sqrt{x-1} \cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})} =\frac{2x}{\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}+x-1}=\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}+x-1}

Por lo tanto:

\lim_{x \rightarrow +\infty}x \cdot \left( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1 \right)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}+x-1}

Como \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x^2-1}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x^2}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\: x, tenemos que:

\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}+x-1}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x}{x+x-1}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2}{2}=\textcolor{blue}{1}