Vectores en tres dimensiones

Consideramos los puntos A(1,2,3) , B(-1,0,1) y C(2,0,1).

- a) Calcula d(A,B) (distancia entre los puntos A y B)
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC} (producto escalar)
- c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
- d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

SOLUCIÓN

Preparamos los vectores que necesitaremos en los siguientes apartados:
\vec{AB}=(-2,-2,-2) , \vec{AC}=(1,-2,-2) , \vec{BC}=(3,0,0)

- a) d(A,B)=|\vec{AB}|=+ \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2}=+\sqrt{12}
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC}=(-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) = 6
- c) Perímetro = d(A,B) + d(B,C) + d(C,A)=
+\sqrt{12}+\sqrt{3^2+0^2+0^2}+\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2} =
=+\sqrt{12}+\sqrt{9}+\sqrt{9} = \sqrt{12}+6
- d) Calculamos el área del triángulo con la fórmula:
Área = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|

\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\
-2 & -2 & -2 \\
1 & -2 & -2
\end{array} \right| = 0\vec{i}-6\vec{j}+6\vec{k}

Por tanto, Área = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2+(-6)^2+6^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{72}  u^2