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Selectividad Andalucía 2011-1-A3

Considera las matrices:

$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)$
$\qquad$ y $\qquad$
$B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$

– a) ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que no tiene inversa?
– b) Para $\lambda=1$ , resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$

SOLUCIÓN

– a) No hay $A^{-1}$ cuando

$|A|=\lambda^2+1 = 0$

No hay soluciones reales, por tanto no hay ningún valor real de $\lambda$ para el que no tenga inversa.

– b) $A^{-1}XA = B$
$AA^{-1}XAA^{-1} = ABA^{-1}$
$X = ABA^{-1}$

$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & 1/2 & -1/2 \cr 0 & 1/2 & 1/2 \end{array}\right)$

$X = ABA^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}0 & 1/2 & 1/2\cr 1 & 1/2 & -1/2 \cr -1 & 1/2 & -1/2 \end{array}\right)$