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Rango de una matriz usando determinantes

Rango de una matriz

Una de las formas de calcular el rango de una matriz es usando determinantes.

Se define el rango como el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante no nulo.

Por tanto, debemos encontrar el determinante más grande posible (que sea distinto de 0).

Ejemplo

Sea la matriz $A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right)$

rango(A) será un número entre 1 y 3 porque:
– para que el rango sea 0 tendría que ser la matriz nula (todo ceros)
– el mayor determinante que podemos encontrar es de orden 3 (el rango no puede ser 4 o más porque no podemos encontrar un determinante de orden 4 o más).

– Con un elemento que haya distinto de cero, ya podemos asegurar que $r(A) \ge 1$
– Busquemos ahora algún determinante de orden 2

$\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \neq 0$ , por tanto $r(A) \ge 2$

– Ahora buscamos determinantes de orden 3 (deben incluir al anterior determinante de orden 2)

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right| = 0$ $\qquad \qquad$ $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right| = 0$

Como todos los determinantes de orden 3 son nulos, el rango se queda en 2.
Por tanto $\fbox{rg(A)=2}$