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Calcular matriz inversa aplicando Gauss-Jordan

Recordemos antes de nada que para que una matriz tenga inversa, debe ser una matriz cuadrada con determinante no nulo.
Hay muchos métodos para calcular la inversa. Explicamos aquí el método de Gauss-Jordan.

Sea una matriz invertible. El método de Gauss-Jordan consiste en:
1) Ampliar la matriz A con la matriz identidad:
2) Hacer transformaciones elementales con las filas hasta conseguir que quede de la forma
3) La matriz B obtenida a la derecha es la inversa de A

$(A|I) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$

Esquema para una matriz 2x2

$\left( \begin{array}{cc|cc} \bullet & \bullet & 1 & 0 \\ \bullet & \bullet & 0 & 1 \end{array} \right) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 &\bullet & \bullet \\ 0 & 1 &\bullet & \bullet \end{array} \right)$

Orden a seguir

$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \bullet \\ \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \bullet \\ \fbox{0} & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \bullet \\ 0 & \fbox{1} \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \fbox{0} \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

Esquema para una matriz 3x3

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \bullet & \bullet & \bullet& 1 & 0 & 0\\ \bullet & \bullet & \bullet& 0 & 1 & 0\\ \bullet & \bullet & \bullet& 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \bullet & \bullet & \bullet\\ 0 & 1 & 0 &\bullet & \bullet & \bullet\\ 0 & 0 & 1 &\bullet & \bullet & \bullet \end{array} \right)$

Orden a seguir

$\left( \begin{array}{ccc} \fbox{1} & \bullet & \bullet\\ \bullet & \bullet & \bullet\\ \bullet & \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & \bullet & \bullet\\ \fbox{0} & \bullet & \bullet\\ \fbox{0} & \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & \bullet & \bullet\\ 0 & \fbox{1} & \bullet\\ 0 & \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \fbox{0} & \bullet\\ 0 & 1 & \bullet\\ 0 & \fbox{0} & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \bullet\\ 0 & 1 & \bullet\\ 0 & 0 & \fbox{1} \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \fbox{0}\\ 0 & 1 & \fbox{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Ejemplo resuelto con matriz 2x2

Ejemplo resuelto con matriz 3x3