Funciones, Derivadas e Integrales

(245) ejercicios de Matemáticas PAU Andalucía

(39) ejercicios de Matemáticas II — Análisis (Funciones, Continuidad, Límites, Derivadas e Integrales)

Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+3 & si & x \leq 1 \\ \\ 2-x^2 & si & x > 1 \end{array} \right.$

– (a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de $f$ en $x=1$
– (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$

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Considera la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = (x+3) \cdot e^{-x}$

– (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f
– (b) Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica
– (c) Esboza la gráfica de f

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Dadas la parábola de ecuación $y = 1 + x^2$ y la recta de ecuación $y = 1 + x$ , se pide:

– (a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
– (b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

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Se sabe que la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -1$ . Conociendo además que $\int_0^1 f(x) dx = 6$ , halla $a$ , $b$ y $c$ .

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Sea $Ln \:(1 - x^2)$ el logaritmo neperiano de $1 - x^2$ y sea $f : (-1, 1) \longrightarrow R$ la
función definida por $f (x) = Ln\: (1 - x^2 )$ . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ .

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