Número mínimo de pesadas

Se cuenta con un saco que contiene 1200 kg de arroz, una balanza de dos platillos suficientemente grandes (como para contener cualquier peso) y dos pesas, una de 19 kg y otra de 29 kg. Si se desea obtener 876 kg de arroz, ¿cuántas pesadas, como mínimo, se realizarían?

SOLUCIÓN

Lo primero que se piensa al leer el problema es:
Tengo que conseguir 876 kg con X pesadas de 29kg + Y pesadas de 19kg

Se pueden ir probando combinaciones, pero saldrían muchas.
Por ejemplo con 20 pesadas de 29kg sólo llegaríamos a 580 kg
Calcula que necesitaríamos más de $\textcolor{red}{30 \:pesadas}$

Lo segundo es pensar que tengo más pesas, porque si pongo juntas la de 29kg+19kg= 48kg, es como si tuviese una tercera pesa de 48 kg.
Además si pongo la de 29kg en un plato y la de 19kg en otro: 29-19 = 10 (tengo otra pesa de 10 kg).
Ahora tengo 4 pesas: $\fbox{48kg \: , \: 29kg \: , \: 19kg \: , \: 10kg }$
Aquí podría obtener la primera solución:

– 17 pesadas x 48 kg = 816 kg
– 6 pesadas x 10 kg = 60 kg
816kg + 60kg = 876kg con 17+6 = $\textcolor{red}{23 \: pesadas}$

Aunque tenemos una primera solución, siguen siendo demasiadas pesadas.

Lo tercero que pienso es: dispongo de un saco de 1200 kg (no estoy usando este dato)
1200 - 876 = 324 (pesando 324 kg, el resto del saco contendrá los 876 kg)
Al ser 324 un número más pequeño que 876, seguro que lo consigo en menos pesadas.
Ahora el problema es:

conseguir 324 kg con pesas de 48kg, 29gk, 19kg, 10 kg

Hemos conseguido reducir el problema original a otro más sencillo

Un ejemplo sería:
19 x 16 (= 304) + 10 x 2 (=20) = 324. [Necesitaría $\textcolor{red}{18 \: pesadas]}$

Siguen siendo muchas.

Ahora pienso una nueva opción: la duplicación

Con 2 pesadas de 19kg obtengo un peso de 38kg (que también puedo usar como peso)
Con 1 pesada de 38kg obtengo 38x2 = 76kg
Con 1 pesada de 76 kg obtengo 76x2 = 152kg
Con 1 pesada de 152 kg obtengo 152x2 = 304kg
Con 2 pesadas de 10 kg obtengo 20 kg (junto a los 304 de antes ya tengo los 324)

Lo hemos conseguido con solo $\textcolor{red}{7 pesadas}$ .

Pero, ¿Se puede ir aún más lejos y reducir el número de pesadas?

Lo último que pienso es .. si ha funcionado el duplicar, también puede funcionar el hacer mitades

Con 1 pesada puedo conseguir 600 kg (poniendo de los 1200 la mitad en cada plato)
Con 1 pesada puedo conseguir 300 kg (poniendo de los 600 la mitad en cada plato)
Ya tengo 300 kg con solo dos pesadas (me faltan 24 kg).
Con 1 pesada consigo 48 kg (pesa de 29kg + pesa de 19kg)
con 1 pesada consigo 24 kg (poniendo de los 48 la mitad en cada plato).

TOTAL: Lo hemos conseguido con sólo $\fbox{\textcolor{red}{4 pesadas}}$