Problema 4435. Distribución Binomial

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En una moneda trucada la probabilidad de obtener cara es 0.61. Lanzamos la moneda 10 veces:

– a) Probabilidad de obtener exactamente 9 caras
– b) Probabilidad de obtener al menos 9 caras
– c) Probabilidad de obtener al menos 2 caras

SOLUCIÓN

Se trata de una distribución Binomial donde la variable X representa el número de caras obtenidas, la probabilidad de éxito (obtener cara) es p=0.61 y el número de veces que se repite el experimento es n=10.

X \longrightarrow B(n,p)


X \longrightarrow B(10,0.61)

Recordemos que la probabilidad se calcula con la siguiente fórmula:

P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k}

– a) Probabilidad de obtener exactamente 9 caras
P(X=9)=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 9 \end{array} \right) \cdot 0.61^9 \cdot(1-0.61)^{10-9}
P(X=9)=10 \cdot 0.61^9 \cdot 0.39 = \fbox{0,0456}

– b) Probabilidad de obtener al menos 9 caras
P(X\geq 9)=P(X=9) + P(X=10)

P(X=9) = 0.0456 (calculado en el apartado anterior)

P(X=10)=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right) \cdot 0.61^{10} \cdot(0.39)^0=1 \cdot 0.61^{10} \cdot 1=0,0071

P(X\geq 9)=0.0456 + 0,0071=\fbox{0.0527}

– c) Probabilidad de obtener al menos 2 caras

P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+ \cdots + P(X=10)
Por ese camino tendríamos que hacer demasiadas operaciones.
Lo intentamos por el contrario:

P(X\geq 2)=1-P(X<2) = 1- [P(X=0)+P(X=1)]

P(X=0)=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array} \right) \cdot 0.61^0 \cdot0.39^{10}=1 \cdot 1 \cdot 0.39^{10}=0.00008

P(X=1)=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array} \right) \cdot 0.61^1 \cdot 0.39^{9}=10 \cdot 0.61 \cdot 0.39^9=0.00013

P(X\geq 2)=1-P(X<2) = 1- [0.00008+0.00013]=\fbox{0.99979}