Distribución Binomial

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Una variable aleatoria sigue una binomial si:

1) Hay un experimento aleatorio que se repite n veces con independencia (ejemplo: lanzar una moneda 100 veces)

2) En cada prueba solo pueden darse dos casos: éxito o fracaso (ejemplo: cara o cruz). Las probabilidades de ambos suman uno pero no tienen que ser la misma.

p= probabilidad de obtener éxito

q=1-p= probabilidad de no obtener éxito (fracaso)

3) La variable se define como el número de éxitos conseguidos:
X = número de éxitos conseguidos en los n experimentos.

Para simplificar, lo expresamos de la siguiente manera:

X \longrightarrow B(n,p)

Su función de probabilidad es la siguiente:

P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k}


para k=0,1,2,3,..

Su media o Esperanza Matemática (valor esperado) es \fbox{n \cdot p}

La expresión \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) se llama número combinatorio y se lee «n sobre k»

Para calcularlo se usa la siguiente fórmula:

\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Ejemplo:

\left( \begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}= \frac{7!}{3! \cdot 4!}=\frac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cancel{4 \cdot \cancel{3 \cdot 2} \cdot 1}} = 35

Algunas propiedades de los números combinatorios

– \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right) = 1} Ejemplo: \left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array} \right) = 1

– \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right) = n} Ejemplo: \left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array} \right) = 8

– \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right)} Ejemplo: \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array} \right)