Problema Geometría

Calcula el área de un segmento circular de 60^\circ en un círculo de 24 cm. de diámetro.

SOLUCIÓN

Área Segmento circular = Área sector circular - Área del triángulo

Calculamos primero el área del sector circular

A = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}

A = \pi \cdot 12^2 \cdot \frac{60}{360} = 24 \pi \: cm^2

Ahora calculamos el área del triángulo

Al ser un sector de 60º origina un triángulo equilátero: los 3 ángulos son de 60º y los 3 lados miden 12 cm (el radio de la circunferencia).

Calculamos la altura aplicando Pitágoras:

a^2 +6^2=12^3

a^2 + 36=144

a^2 =144 - 36

a^2 =108

a =\sqrt{108}

A_{\Delta} = \frac{base \:\: \cdot \:\: altura}{2}

A_{\Delta} = \frac{12 \cdot \sqrt{108}}{2} = 6 \sqrt{108} \: cm^2

Por tanto el área del segmento circular será:

A = (24 \pi - 6 \sqrt{108}) \: cm^2