Problema trenes en direcciones perpendiculares

Los trenes A y B parten de la misma ciudad al mismo tiempo en direcciones perpendiculares. El tren B viaja 5 km/h mas rápido que el tren A. Al cabo de 2 horas se encuentran a 50km de distancia. Halle la velocidad de cada tren.

SOLUCIÓN

Hacemos un esquema con el tren A viajando a $x \: km/h$ y con el tren B viajando a $(x+5) \: km/h$ en direcciones perpendiculares

Al cabo de dos horas:
– El tren A habrá recorrido $2x \: km$
– El tren B habrá recorrido $2\cdot (x+5) \: km = 2x+10 \: km$
– La distancia entre ambos es de $50 \: km$

Aplicamos Pitágoras

$4x^2 + 4x^2+10^2+2\cdot 2x \cdot 10= 50^2$

Observe que hemos aplicado las igualdades notables

Es una ecuación de segundo grado que debemos ordenar

Aunque podríamos aplicar la fórmula y resolverla ya, si observamos que todos los términos son múltiplos de 8, podemos simplificarla (dividiendo por 8)

Aplicamos la fórmula

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-5+35}{2}=15\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4 \cdot1\cdot(-300)}}{2 \cdot1}= \frac{-5\pm \sqrt{1225}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-5-35}{2}=-20\end{array}$