Progresión geomérica. Término general. Ejercicio 4555

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Halla el término general de la siguiente sucesión:

3, 12, 48 , 192...

Indica qué tipo de sucesión es y calcula la suma de sus 10 primeros términos (expresa el resultado en notación científica).

SOLUCIÓN

Se trata de una progresión geométrica de razón r=4 porque cada término se obtiene multiplicando por 4 el anterior.

El término general se obtiene con la fórmula
a_n=a_1 \cdot r^{n-1}
que para nuestro caso es:
a_n=3 \cdot 4^{n-1}

Para la suma de los 10 primeros términos usamos la fórmula
S_n=\frac{r \cdot a_n - a_1 }{r-1}
que en este caso será:
S_{10}=\frac{4 \cdot a_{10} - 3 }{4-1}

Necesitamos calcular el término a_{10} usando la fórmula del término general

a_n=3 \cdot 4^{n-1}
a_{10}=3 \cdot 4^{10-1} = 3 \cdot 4^9

Entonces la suma será:
S_{10}=\frac{4 \cdot 3 \cdot 4^9 - 3 }{3} = \frac{3 \cdot (4^{10} - 1)}{3} = 4^{10} -1 = 1048575

Expresado en notación científica es 1.048575 \cdot 10^{6}