Proporcionalidad de velocidades

proporcionalidad

Las velocidades de 3 automóviles : A, B y C son proporcionales a 9, 4 y 8 respectivamente. A y B parten juntos de M al encuentro de C, quien parte de N al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. Si C se encuentra primero con A y después de recorrer 50 km se encuentra con B, ¿ qué espacio total recorrió B hasta encontrarse con C?

SOLUCIÓN

La situación inicial es la siguiente

En la siguiente imagen marcamos los puntos de encuentro:
– el punto de encuentro de C y A (pasados x km)
– el punto de encuentro de C y B (50 km después)

Supongamos que a, b y c son las velocidades de A, B y C (que son proporcionales a 9,4 y 8). Lo podemos expresar así:

$\frac{a}{9}=\frac{b}{4}=\frac{c}{8}$

Los 3 cocientes son iguales. A su valor le llamamos k (constante de proporcionalidad)

$\frac{a}{9}=\frac{b}{4}=\frac{c}{8}=k$

Entonces las velocidades (en km/h) son:

$\frac{a}{9}=k \longrightarrow a = 9k$

$\frac{b}{4}=k \longrightarrow b = 4k$

$\frac{c}{8}=k \longrightarrow c = 8k$

Recordemos que $v = \frac{e}{t} \longrightarrow t=\frac{e}{v}$

Cuando se encuentran C y A sus tiempos son iguales, por tanto:

$t_C=t_A \longrightarrow \frac{e_C}{v_C}=\frac{e_A}{v_A} \longrightarrow \frac{x}{8k}=\frac{y+50}{9k} \longrightarrow \frac{x}{8}=\frac{y+50}{9}$

Igualmente, cuando se encuentran C y B obtenemos

$t_C=t_B \longrightarrow \frac{e_C}{v_C}=\frac{e_B}{v_B} \longrightarrow \frac{x+50}{8k}=\frac{y}{4k} \longrightarrow \frac{x+50}{8}=\frac{y}{4}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

En primer lugar quitamos denominadores multiplicando en cruz

$\left\{ \begin{array}{l} 9x = (y+50) \cdot 8 \longrightarrow 9x=8y+400 \longrightarrow 9x-8y=400 \\ (x+50) \cdot 4 = 8y \longrightarrow 4x+200 = 8y \longrightarrow 4x-8y=-200 \end{array} \right.$