Proporcionalidad de velocidades

Las velocidades de 3 automóviles : A, B y C son proporcionales a 9, 4 y 8 respectivamente. A y B parten juntos de M al encuentro de C, quien parte de N al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. Si C se encuentra primero con A y después de recorrer 50 km se encuentra con B, ¿ qué espacio total recorrió B hasta encontrarse con C?

SOLUCIÓN

La situación inicial es la siguiente

En la siguiente imagen marcamos los puntos de encuentro:
- el punto de encuentro de C y A (pasados x km)
- el punto de encuentro de C y B (50 km después)

Supongamos que a, b y c son las velocidades de A, B y C (que son proporcionales a 9,4 y 8). Lo podemos expresar así:

\frac{a}{9}=\frac{b}{4}=\frac{c}{8}


Los 3 cocientes son iguales. A su valor le llamamos k (constante de proporcionalidad)

\frac{a}{9}=\frac{b}{4}=\frac{c}{8}=k

Entonces las velocidades (en km/h) son:

\frac{a}{9}=k \longrightarrow a = 9k

\frac{b}{4}=k \longrightarrow b = 4k

\frac{c}{8}=k \longrightarrow c = 8k

Recordemos que v = \frac{e}{t} \longrightarrow t=\frac{e}{v}

Cuando se encuentran C y A sus tiempos son iguales, por tanto:

t_C=t_A \longrightarrow \frac{e_C}{v_C}=\frac{e_A}{v_A}  \longrightarrow \frac{x}{8k}=\frac{y+50}{9k}  \longrightarrow \frac{x}{8}=\frac{y+50}{9}

Igualmente, cuando se encuentran C y B obtenemos

t_C=t_B \longrightarrow \frac{e_C}{v_C}=\frac{e_B}{v_B}  \longrightarrow \frac{x+50}{8k}=\frac{y}{4k}  \longrightarrow \frac{x+50}{8}=\frac{y}{4}

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

En primer lugar quitamos denominadores multiplicando en cruz

\left\{
\begin{array}{l}
9x = (y+50) \cdot 8 \longrightarrow 9x=8y+400  \longrightarrow 9x-8y=400
\\ (x+50) \cdot 4 = 8y \longrightarrow 4x+200 = 8y  \longrightarrow 4x-8y=-200
\end{array}
\right.

Resolvemos por reducción: multiplicamos por (-1) la segunda ecuación y las sumamos


\begin{array}{c}
 9x\cancel{-8y} =400
\\ \underline{-4x\cancel{+8y}=200}
\\ 5x  =  600
\end{array}

5x  =  600 \longrightarrow x=\frac{600}{5 } \longrightarrow x=120

Ahora debemos calcular "y" (que es el espacio que nos piden)
Tomamos una de las ecuaciones y sustituimos x por su valor
-4x+8y=200

-4 \cdot 120+8y=200
-480+8y=200
8y=680 \longrightarrow y=\frac{680}{8} = 85

Recorrió \fbox{85 \: km}