Radicales Simplificar

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Opera y simplifica:

– \sqrt{32}
– \sqrt[3]{-81}
– \left( \sqrt[3]{2} \right)^8
– \left( \sqrt{\sqrt{2}} \right)^{10}
– \sqrt[3]{5^{-6}}

SOLUCIÓN

– \sqrt{32} = \sqrt{2^5}=\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2}=2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}

– \sqrt[3]{-81}=\sqrt[3]{(-1) \cdot 3^4}=\sqrt[3]{(-1) \cdot 3^3 \cdot 3}=3\sqrt[3]{(-1) 3}=3 \sqrt[3]{-3}

– \left( \sqrt[3]{2} \right)^8 = \sqrt[3]{2^8}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^2} = 2 \cdot 2 \sqrt[3]{2^2} =4 \sqrt[3]{4}

– \left( \sqrt{\sqrt{2}} \right)^{10} =\left( \sqrt[4]{2} \right)^{10} = \sqrt[4]{2^{10}}=\sqrt[4]{2^4 \cdot 2^4 \cdot 2^2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{2^2}=4\sqrt{2}

– \sqrt[3]{5^{-6}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5^6}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5^3} \cdot \frac{1}{5^3}} = \sqrt[3]{\left( \frac{1}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5^{2}} = 5^{-2}
El último también se puede hacer directamente dividiendo exponente (-6) entre índice(3) o incluso pasando la raíz a potencia
\sqrt[3]{5^{-6}}=5^{\frac{-6}{3}} = 5^{-2}