ecuaciones irracionales

|

Resuelve la ecuación: x-\sqrt{2x-1}=2

SOLUCIÓN

x-\sqrt{2x-1}=2


Se trata de una ecuación irracional.
Primero aislamos la raíz

x-2=\sqrt{2x-1}


Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la reíz

(x-2)^2=\left( \sqrt{2x-1} \right)^2

(x-2)^2=\left( \cancel{\sqrt}{\overline{2x-1}} \right)^\cancel{2}

x^2+4-4x=2x-1

Obtenemos una ecuación de segundo grado. La ordenamos y aplicamos la fórmula

x^2-6x+5=0


\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{6+4}{2}=5\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot1\cdot5}}{2 \cdot1}= \frac{6\pm \sqrt{16}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{6-4}{2}=1\end{array}

Recordemos que en las ecuaciones irracionales hay que verificar las soluciones en la ecuación original

x=1 \longrightarrow 1-\sqrt{2 \cdot 1-1}=2 \longrightarrow 1-1 \neq 2 \longrightarrow NO es válida

x=5 \longrightarrow 5-\sqrt{2 \cdot 5-1}=2 \longrightarrow 5-3 = 2 \longrightarrow SI es válida

Por tanto, la única solución de la ecuación es \fbox{x=5}