ecuaciones problemas

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Repartimos caramelos entre tres niños de forma que al primero le damos la mitad más dos, al segundo le damos la mitad de lo que queda más dos y al tercero la mitad de lo que queda más dos. No sobra ningún caramelo. ¿Cuántos caramelos teníamos y cuántos damos a cada niño?

SOLUCIÓN

Planteamiento Asignamos la incógnita y planteamos la ecuación

→ x = el número total de caramelos al inicio. Las cantidades que quedan después de cada reparto se calculan restando la mitad más dos del resto anterior.

Se define x como el total. Después de dar al primero, queda x/2 - 2. De ese resto, se da la mitad más dos al segundo, quedando (x/2 - 2)/2 - 2. Finalmente, de ese nuevo resto, se da la mitad más dos al tercero, y como no sobra nada, el resultado final debe ser 0.

La ecuación es:

Resolución de la ecuación La resolvemos paso a paso

Operamos las fracciones y agrupamos todos los términos en un miembro:

Multiplicamos por 8 (m.c.m. de los denominadores) para quitar las fracciones:

Despejamos la incógnita:

Solución: Teníamos un total de 28 caramelos, repartiendo 16 al primero, 8 al segundo y 4 al tercero.

Otra forma de hacerlo:

$x \longrightarrow$ cantidad de caramelos
Al primero le da: $\frac{x}{2}+2 \qquad$

Queda: $x-\left(\frac{x}{2}+2\right) = \frac{x}{2}-2$

Al segundo le da: $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{x}{2}-2\right) + 2 = \frac{x}{4}+1$

Queda $\left(\frac{x}{2}-2 \right) - \left( \frac{x}{4}+1 \right) = \frac{x}{4}-3$

Al tercero le da: $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{x}{4}-3\right) + 2 = \frac{x}{8}+\frac{1}{2}$

Queda: ya no queda nada, por tanto, lo que quedaba antes es igual a lo que ha dado al tercero:

$\frac{x}{4}-3 = \frac{x}{8}+\frac{1}{2}$

Resolvemos la ecuación anterior

$\frac{x}{4}-3=\frac{x}{8}+\frac{1}{2}$

Ponemos 1 como denominador a los términos que no tengan denominador:

$\frac{x}{4}-\frac{3}{1} = \frac{x}{8}+\frac{1}{2}$

El mínimo común múltiplo de los denominadores es mcm(2, 4, 8) = 8.

Multiplicamos todos los términos por 8 para eliminar los denominadores:

$2x-24=x+4$

Distinguimos los términos con "x" y los términos sin "x"

$\color[RGB]{192,0,0}{+2x}\color[RGB]{0,0,192}{-24} = \color[RGB]{192,0,0}{+x}\color[RGB]{0,0,192}{+4}$

Colocamos a un lado los que llevan "x" y al otro los números

$2x-x = 24+4$

Agrupamos términos

$x = 28$

$\boxed{x = 28}$

Solución: Teníamos un total de 28 caramelos, repartiendo 16 al primero, 8 al segundo y 4 al tercero.

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