funciones problemas gráfica

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El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función:

B(x)=-0.01x^2+3.6x-180

– a) Representa gráficamente esta función.
– b) Determina el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo.
– c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas.

SOLUCIÓN

Representación gráfica

Se trata de una parábola invertida (el coeficiente de la x^2 es negativo: -0.01)

Vértice: \left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right)
– x=\frac{-3.6}{2 \cdot (-0.01)}=180
– y=-0.01 \cdot 180^2 + 3.6 \cdot 180 - 180 = 144

Por tanto el vértice es (180, 144)

Corte con los ejes de coordenadas

– si x=0 entonces y=-180; por tanto (0, -180)
– si y=o entonces -0.01x^2+3.6x-180=0 . Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones 60 y 300. Por tanto los puntos de corte son (30,0) y (180,0)

Aunque podemos obtener más puntos .. con el vértice y corte con los ejes ya podemos obtener un dibujo de la parábola:

A la vista de la gráfica, resulta fácil contestar a las preguntas:
– El beneficio máximo (144) se obtiene con 180 kg. (en el vértice, que es el punto donde se alcanza el máximo).
– Si pasa de los 300 kg. la empresa obtendría pérdidas (observa que también obtendría pérdidas con menos de 60 kg.