polinomios factorizar

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Factoriza los siguientes polinomios:

- a) x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81
- b) 4x^3 - 12x^2 + 11x - 3

SOLUCIÓN

- a)

x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81

Usamos el método de Ruffini.
Debemos buscar raíces al polinomio entre los divisores del término independiente.

Divisores de 81\longrightarrow 1, -1, 3, -3, \cdots , 81, -81

Probamos con 1
\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81}

Como no se obtiene resto=0 seguimos probando con -1, 3 y finalmente funciona con -3

\polyhornerscheme[x=-3, resultstyle=\color{blue},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81}

\polyhornerscheme[x=-3, resultstyle=\color{blue},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3 + 9x^2 + 27x + 27}

\polyhornerscheme[x=-3, resultstyle=\color{blue},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^2 + 6x + 9}

\polyhornerscheme[x=-3, resultstyle=\color{blue},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x + 3}

El resultado de la factorización es:

x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81 = \polyfactorize{x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81}

- b) 4x^3 - 12x^2 + 11x - 3

\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{blue},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{4x^3 - 12x^2 + 11x - 3}

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4 \cdot4\cdot3}}{2 \cdot4}= \frac{8\pm \sqrt{16}}{8}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\end{array}


Por tanto: 4x^2-8x+3=4 \cdot \left( x-\frac{1}{2}\right) \cdot \left( x-\frac{3}{2}\right)

Resultado final de la factorización:

4x^3 - 12x^2 + 11x - 3 = \polyfactorize{4x^3 - 12x^2 + 11x - 3}