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sistema lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle { \left\{ { 2x-y=-6 \atop x+3y=11 } \right. }$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x - y = -6\\x + 3y = 11\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

El coeficiente de y en la Ec.1 es -1: despejamos y de esa ecuación porque no aparecerán fracciones.

Paso 1 · Despejamos y de la primera ecuación

$-y = -6 - 2x$

${\color{blue} y = 6 + 2x}$

Paso 2 · Sustituimos y en la segunda ecuación

$3(6 + 2x) + x = 11$

Paso 3 · Desarrollamos el paréntesis

$-18 - 6x - x = -11$

Paso 4 · Agrupamos los términos con x a un lado y los números al otro

$-7x = 7$

Paso 5 · Despejamos x

${\color{blue} x = -1}$

Paso 6 · Sustituimos x en la expresión del Paso 1 para hallar y

$y = 6 + 2\cdot\left(-1\right)$

${\color{blue} y = 4}$

Solución

$\boxed{x = -1 \qquad y = 4}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x - y = -6\\x + 3y = 11\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$2x = -6 + y$

${\color{blue} x = \dfrac{-6 + y}{2}}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$x = 11 - 3y$

${\color{blue} x = 11 - 3y}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$\dfrac{-6 + y}{2} = 11 - 3y$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$(-6 + y) = 2(11 - 3y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$-6 + y = 22 - 6y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$7y = 28$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = 4}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{-6 + \cdot\left(4\right)}{2}$

${\color{blue} x = -1}$

Solución

$\boxed{x = -1 \qquad y = 4}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x - y = -6\\x + 3y = 11\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

1 es múltiplo de 2 (coeficientes de x). Basta con multiplicar la Ec.2 por 2.

Paso 1 · Sistema equivalente tras multiplicar

$2x - y = -6\quad\text{(sin cambios)}$

$2\cdot\left[x + 3y = 11\right]\;\Rightarrow\;2x + 6y = 22$

Paso 2 · Mismo signo en x: restamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 2x - y = -6 \\ - & (2x + 6y = 22) \\ \hline & -7y = -28 \end{array}$

Paso 3 · Despejamos y

${\color{blue} y = 4}$

Paso 4 · Sustituimos y en la primera ecuación para hallar x

$2x - y = -6$

$2x = -6 + \cdot\left(4\right)$

$x = \dfrac{-6 + \cdot\left(4\right)}{2}$

${\color{blue} x = -1}$

Solución

$\boxed{x = -1 \qquad y = 4}$

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