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sistemas lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistemas_por_igualación sistemas_por_reducción sistemas_por_sustitución sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle { \left\{ {3x+2y=7 \atop 4x-3y=15 } \right.}$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}3x + 2y = 7\\4x - 3y = 15\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

Ningún coeficiente es 1 ni −1. Elegimos despejar y de la Ec.1 (coeficiente 2, el menor en valor absoluto).

Paso 1 · Despejamos y de la primera ecuación

$2y = 7 - 3x$

${\color{blue} y = \dfrac{7 - 3x}{2}}$

Paso 2 · Sustituimos y en la segunda ecuación

$-3\cdot\dfrac{7 - 3x}{2} + 4x = 15$

Paso 3 · Multiplicamos todos los términos por 2 para eliminar el denominador

$-21 + 9x + 8x = 30$

Paso 4 · Agrupamos los términos con x a un lado y los números al otro

$17x = 51$

Paso 5 · Despejamos x

${\color{blue} x = 3}$

Paso 6 · Sustituimos x en la expresión del Paso 1 para hallar y

$y = \dfrac{7 - 3\cdot\left(3\right)}{2}$

${\color{blue} y = -1}$

Solución

$\boxed{x = 3 \qquad y = -1}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}3x + 2y = 7\\4x - 3y = 15\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$3x = 7 - 2y$

${\color{blue} x = \dfrac{7 - 2y}{3}}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$4x = 15 + 3y$

${\color{blue} x = \dfrac{15 + 3y}{4}}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$\dfrac{7 - 2y}{3} = \dfrac{15 + 3y}{4}$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$4(7 - 2y) = 3(15 + 3y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$28 - 8y = 45 + 9y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$-17y = 17$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = -1}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{7 - 2\cdot\left(-1\right)}{3}$

${\color{blue} x = 3}$

Solución

$\boxed{x = 3 \qquad y = -1}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}3x + 2y = 7\\4x - 3y = 15\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

Los coeficientes de y son 2 y 3, primos entre sí. Multiplicamos la Ec.1 por 3 y la Ec.2 por 2.

Paso 1 · Sistema equivalente tras multiplicar

$3\cdot\left[3x + 2y = 7\right]\;\Rightarrow\;9x + 6y = 21$

$2\cdot\left[4x - 3y = 15\right]\;\Rightarrow\;8x - 6y = 30$

Paso 2 · Signos contrarios en y: sumamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 9x + 6y = 21 \\ + & 8x - 6y = 30 \\ \hline & 17x = 51 \end{array}$

Paso 3 · Despejamos x

${\color{blue} x = 3}$

Paso 4 · Sustituimos x en la primera ecuación para hallar y

$3x + 2y = 7$

$2y = 7 - 3\cdot\left(3\right)$

$y = \dfrac{7 - 3\cdot\left(3\right)}{2}$

${\color{blue} y = -1}$

Solución

$\boxed{x = 3 \qquad y = -1}$

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