sistemas lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle { \left\{ {4x-y=6 \atop 5x-\frac{y}{2}=\frac{1}{2} } \right. }$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}4x - y = 6\\5x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$

Eliminamos denominadores hallando el mcm de cada ecuación.

Ecuación 2 · mcm(2) = 2

$4x - y = 6$

(sin cambios)

$2\cdot\left(5x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\right)\;\Rightarrow\;10x - y = 1$

Sistema equivalente:

$\begin{cases}4x - y = 6\\10x - y = 1\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

El coeficiente de y en la Ec.1 es -1: despejamos y de esa ecuación porque no aparecerán fracciones.

Paso 1 · Despejamos y de la primera ecuación

$-y = 6 - 4x$

${\color{blue} y = -6 + 4x}$

Paso 2 · Sustituimos y en la segunda ecuación

$-(-6 + 4x) + 10x = 1$

Paso 3 · Desarrollamos el paréntesis

$-6 + 4x - 10x = -1$

Paso 4 · Agrupamos los términos con x a un lado y los números al otro

$-6x = 5$

Paso 5 · Despejamos x

${\color{blue} x = \dfrac{-5}{6}}$

Paso 6 · Sustituimos x en la expresión del Paso 1 para hallar y

$y = -6 + 4\cdot\left(\dfrac{-5}{6}\right)$

${\color{blue} y = \dfrac{-28}{3}}$

Solución

$\boxed{x = \dfrac{-5}{6} \qquad y = \dfrac{-28}{3}}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}4x - y = 6\\5x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$

Eliminamos denominadores hallando el mcm de cada ecuación.

Ecuación 2 · mcm(2) = 2

$4x - y = 6$

(sin cambios)

$2\cdot\left(5x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\right)\;\Rightarrow\;10x - y = 1$

Sistema equivalente:

$\begin{cases}4x - y = 6\\10x - y = 1\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$4x = 6 + y$

${\color{blue} x = \dfrac{6 + y}{4}}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$10x = 1 + y$

${\color{blue} x = \dfrac{1 + y}{10}}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$\dfrac{6 + y}{4} = \dfrac{1 + y}{10}$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$10(6 + y) = 4(1 + y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$60 + 10y = 4 + 4y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$6y = -56$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = \dfrac{-28}{3}}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{6 + \cdot\left(\dfrac{-28}{3}\right)}{4}$

${\color{blue} x = \dfrac{-5}{6}}$

Solución

$\boxed{x = \dfrac{-5}{6} \qquad y = \dfrac{-28}{3}}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}4x - y = 6\\5x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\end{cases}$

Eliminamos denominadores hallando el mcm de cada ecuación.

Ecuación 2 · mcm(2) = 2

$4x - y = 6$

(sin cambios)

$2\cdot\left(5x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\right)\;\Rightarrow\;10x - y = 1$

Sistema equivalente:

$\begin{cases}4x - y = 6\\10x - y = 1\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

Los coeficientes de y ya coinciden en valor absoluto (1), no necesitamos multiplicar.

Paso 1 · Mismo signo en y: restamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 4x - y = 6 \\ - & (10x - y = 1) \\ \hline & -6x = 5 \end{array}$

Paso 2 · Despejamos x

${\color{blue} x = \dfrac{-5}{6}}$

Paso 3 · Sustituimos x en la primera ecuación para hallar y

$4x - y = 6$

$-y = 6 - 4\cdot\left(\dfrac{-5}{6}\right)$

$y = -6 + 4\cdot\left(\dfrac{-5}{6}\right)$

${\color{blue} y = \dfrac{-28}{3}}$

Solución

$\boxed{x = \dfrac{-5}{6} \qquad y = \dfrac{-28}{3}}$

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