sistemas lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle { \left\{ { x+y=0 \atop 2x+4y=1 } \right. }$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}x + y = 0\\2x + 4y = 1\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

El coeficiente de x en la Ec.1 es 1: despejamos x de esa ecuación porque no aparecerán fracciones.

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

${\color{blue} x = -y}$

Paso 2 · Sustituimos x en la segunda ecuación

$2(-y) + 4y = 1$

Paso 3 · Desarrollamos el paréntesis

$-2y + 4y = 1$

Paso 4 · Agrupamos los términos con y a un lado y los números al otro

$2y = 1$

Paso 5 · Despejamos y

${\color{blue} y = \dfrac{1}{2}}$

Paso 6 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = -\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)$

${\color{blue} x = \dfrac{-1}{2}}$

Solución

$\boxed{x = \dfrac{-1}{2} \qquad y = \dfrac{1}{2}}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}x + y = 0\\2x + 4y = 1\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$x = -y$

${\color{blue} x = -y}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$2x = 1 - 4y$

${\color{blue} x = \dfrac{1 - 4y}{2}}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$-y = \dfrac{1 - 4y}{2}$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$2(-y) = (1 - 4y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$-2y = 1 - 4y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$2y = 1$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = \dfrac{1}{2}}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = -\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)$

${\color{blue} x = \dfrac{-1}{2}}$

Solución

$\boxed{x = \dfrac{-1}{2} \qquad y = \dfrac{1}{2}}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}x + y = 0\\2x + 4y = 1\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

1 es múltiplo de 2 (coeficientes de x). Basta con multiplicar la Ec.1 por 2.

Paso 1 · Sistema equivalente tras multiplicar

$2\cdot\left[x + y = 0\right]\;\Rightarrow\;2x + 2y = 0$

$2x + 4y = 1\quad\text{(sin cambios)}$

Paso 2 · Mismo signo en x: restamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 2x + 2y = 0 \\ - & (2x + 4y = 1) \\ \hline & -2y = -1 \end{array}$

Paso 3 · Despejamos y

${\color{blue} y = \dfrac{1}{2}}$

Paso 4 · Sustituimos y en la primera ecuación para hallar x

$x + y = 0$

$x = -\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)$

${\color{blue} x = \dfrac{-1}{2}}$

Solución

$\boxed{x = \dfrac{-1}{2} \qquad y = \dfrac{1}{2}}$

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