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sistemas lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:
$\displaystyle { \left\{ {2x+3y=8 \atop -3x-y=-5 } \right.}$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x + 3y = 8\\-3x - y = -5\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

El coeficiente de y en la Ec.2 es -1: despejamos y de esa ecuación porque no aparecerán fracciones.

Paso 1 · Despejamos y de la segunda ecuación

$-y = -5 + 3x$

${\color{blue} y = 5 - 3x}$

Paso 2 · Sustituimos y en la primera ecuación

$3(5 - 3x) + 2x = 8$

Paso 3 · Desarrollamos el paréntesis

$-15 + 9x - 2x = -8$

Paso 4 · Agrupamos los términos con x a un lado y los números al otro

$7x = 7$

Paso 5 · Despejamos x

${\color{blue} x = 1}$

Paso 6 · Sustituimos x en la expresión del Paso 1 para hallar y

$y = 5 - 3\cdot\left(1\right)$

${\color{blue} y = 2}$

Solución

$\boxed{x = 1 \qquad y = 2}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x + 3y = 8\\-3x - y = -5\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$2x = 8 - 3y$

${\color{blue} x = \dfrac{8 - 3y}{2}}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$-3x = -5 + y$

${\color{blue} x = \dfrac{-5 + y}{-3}}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$\dfrac{8 - 3y}{2} = \dfrac{-5 + y}{-3}$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$-3(8 - 3y) = 2(-5 + y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$-24 + 9y = -10 + 2y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$7y = 14$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = 2}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{8 - 3\cdot\left(2\right)}{2}$

${\color{blue} x = 1}$

Solución

$\boxed{x = 1 \qquad y = 2}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x + 3y = 8\\-3x - y = -5\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

1 es múltiplo de 3 (coeficientes de y). Basta con multiplicar la Ec.2 por 3.

Paso 1 · Sistema equivalente tras multiplicar

$2x + 3y = 8\quad\text{(sin cambios)}$

$3\cdot\left[-3x - y = -5\right]\;\Rightarrow\;-9x - 3y = -15$

Paso 2 · Signos contrarios en y: sumamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 2x + 3y = 8 \\ + & -9x - 3y = -15 \\ \hline & -7x = -7 \end{array}$

Paso 3 · Despejamos x

${\color{blue} x = 1}$

Paso 4 · Sustituimos x en la primera ecuación para hallar y

$2x + 3y = 8$

$3y = 8 - 2\cdot\left(1\right)$

$y = \dfrac{8 - 2\cdot\left(1\right)}{3}$

${\color{blue} y = 2}$

Solución

$\boxed{x = 1 \qquad y = 2}$

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