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Estudio Global de Funciones

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Estudio Global de Funciones

Estudio global de f(x) = x^4-3x^2

Dominio

Dom(f) = R
El dominio de cualquier función polinómica es "todos los números reales"

Asíntotas

Una función polinómica no tiene asíntotas.

Simetrías

f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2 = x^4-3x^2 = f(x)
Es una función par (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes

– Si x = 0 entonces y = 0. Punto:(0,0)
– Si y=0 entonces x^4-3x^2=0. Resolvemos la ecuación:
x^2(x^2-3)=0 de donde:
\rightarrow x=0
\rightarrow x^2-3=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt{3}
Puntos: (0,0) , (\sqrt{3},0) , (-\sqrt{3},0)

Monotonía

f’(x)=4x^3-6x
f’(x)=0 \Longrightarrow 4x^3-6x=0 \Longrightarrow x(4x^2-6)=0
De donde:
\rightarrow x=0
\rightarrow 4x^2-6=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Intervalos:
(-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}}) , (-\sqrt{\frac{3}{2}} , 0) , (0, +\sqrt{\frac{3}{2}}) , (+\sqrt{\frac{3}{2}} , +\infty)

Tomamos un punto de cada intervalo para ver el signo de la derivada (positivo significa creciente y negativo decreciente)

– f’(-2) = 4(-2)^3-6(-2)=-32+12=-20 < 0\Longrightarrow DECRECIENTE
– f’(-1) = 4(-1)^3-6(-1)=-4+6=2 > 0\Longrightarrow CRECIENTE
– f’(1) = 4(1)^3-6(1)=4-6=-2 < 0\Longrightarrow DECRECIENTE
– f’(2) = 4(2)^3-6(2)=32-12=20 > 0\Longrightarrow CRECIENTE

ej_2257a.png

Extremos

Aplicamos la derivada segunda a los puntos 0 , \pm \sqrt{3/2}

f’’(x) = 12x^2-6

– f’’(0) = -6 < 0 \Longrightarrow MÁXIMO en x=0
– f’’(-\sqrt{3/2}) = 12\frac{3}{2}-6=12 > 0 \Longrightarrow MÍNIMO en x=-\sqrt{3/2}
– f’’(-\sqrt{3/2}) = 12\frac{3}{2}-6=12 > 0 \Longrightarrow MÍNIMO en x=+\sqrt{3/2}

Calculemos la imagen de los extremos para conocer la segunda coordenada:

– f(0) = 0^4-3 \cdot 0^2 = 0 \Longrightarrow MAX(0,0)
– f\left(-\sqrt{3/2} \right) = \left( -\sqrt{3/2}\right)^4-3 \cdot \left( -\sqrt{3/2} \right)^2 = -2.25 \LongrightarrowMIN(-\sqrt{3/2}, -2.25)
– f\left(+\sqrt{3/2} \right) = \left( +\sqrt{3/2}\right)^4-3 \cdot \left( +\sqrt{3/2} \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow MIN(+\sqrt{3/2}, -2.25)

Gráfica

Con los datos obtenidos anteriormente:

ej_2257b.png


podemos ya dibujar la gráfica:

ej_2257c.png
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