Estudio Global de Funciones

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Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:

SOLUCIÓN

Estudio global de

Dominio

El dominio de cualquier función polinómica es "todos los números reales"

Asíntotas

Una función polinómica no tiene asíntotas.

Simetrías

Es una función par (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes

Si entonces . Punto:
Si entonces . Resolvemos la ecuación:
de donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow x^2-3=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt3$
Puntos: , $(\sqrt3,0)$ , $(-\sqrt3,0)$

Monotonía

$f\textsc{\char13}(x)=4x^3-6x$
$f\textsc{\char13}(x)=0 \Longrightarrow 4x^3-6x=0 \Longrightarrow x(4x^2-6)=0$
De donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow 4x^2-6=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt\frac32$
Intervalos:
$(-\infty, -\sqrt\frac32)$ , $(-\sqrt\frac32 , 0)$ , $(0, +\sqrt\frac32)$ , $(+\sqrt\frac32 , +\infty)$

Tomamos un punto de cada intervalo para ver el signo de la derivada (positivo significa creciente y negativo decreciente)

$f\textsc{\char13}(-2) = 4(-2)^3-6(-2)=-32+12=-20 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
$f\textsc{\char13}(-1) = 4(-1)^3-6(-1)=-4+6=2 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE
$f\textsc{\char13}(1) = 4(1)^3-6(1)=4-6=-2 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
$f\textsc{\char13}(2) = 4(2)^3-6(2)=32-12=20 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE

Extremos

Aplicamos la derivada segunda a los puntos $0 \: ,\: \pm \sqrt3/2$

$f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(x) = 12x^2-6$

$f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(0) = -6 < 0 \Longrightarrow$ MÁXIMO en
$f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(-\sqrt3/2) = 12\frac32-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=-\sqrt3/2$
$f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(-\sqrt3/2) = 12\frac32-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=+\sqrt3/2$
Calculemos la imagen de los extremos para conocer la segunda coordenada:
$f(0) = 0^4-3 \cdot 0^2 = 0 \Longrightarrow MAX(0,0)$
$f\left(-\sqrt3/2 \right) = \left( -\sqrt3/2\right)^4-3 \cdot \left( -\sqrt3/2 \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(-\sqrt3/2, -2.25)$
$f\left(+\sqrt3/2 \right) = \left( +\sqrt3/2\right)^4-3 \cdot \left( +\sqrt3/2 \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(+\sqrt3/2, -2.25)$

Gráfica

Con los datos obtenidos anteriormente:

podemos ya dibujar la gráfica:

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# El 15 de junio de 2008 a 11:22, por dani En respuesta a: Estudio Global de Funciones

Estudio global de $f(x) = x^4-3x^2$

Dominio

$Dom(f) = R$
El dominio de cualquier función polinómica es "todos los números reales"

Asíntotas

Una función polinómica no tiene asíntotas.

Simetrías

$f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2 = x^4-3x^2 = f(x)$
Es una función par (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes

Si $x = 0$ entonces $y = 0$ . Punto: $(0,0)$
Si $y=0$ entonces $x^4-3x^2=0$ . Resolvemos la ecuación:
$x^2(x^2-3)=0$ de donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow x^2-3=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt{3}$
Puntos: $(0,0)$ , $(\sqrt{3},0)$ , $(-\sqrt{3},0)$

Monotonía

$f’(x)=4x^3-6x$
$f’(x)=0 \Longrightarrow 4x^3-6x=0 \Longrightarrow x(4x^2-6)=0$
De donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow 4x^2-6=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Intervalos:
$(-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}})$ , $(-\sqrt{\frac{3}{2}} , 0)$ , $(0, +\sqrt{\frac{3}{2}})$ , $(+\sqrt{\frac{3}{2}} , +\infty)$

Tomamos un punto de cada intervalo para ver el signo de la derivada (positivo significa creciente y negativo decreciente)

$f’(-2) = 4(-2)^3-6(-2)=-32+12=-20 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
$f’(-1) = 4(-1)^3-6(-1)=-4+6=2 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE
$f’(1) = 4(1)^3-6(1)=4-6=-2 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
$f’(2) = 4(2)^3-6(2)=32-12=20 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE

Extremos

Aplicamos la derivada segunda a los puntos 0 , $\pm \sqrt{3/2}$

$f’’(x) = 12x^2-6$

$f’’(0) = -6 < 0 \Longrightarrow$ MÁXIMO en $x=0$
$f’’(-\sqrt{3/2}) = 12\frac{3}{2}-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=-\sqrt{3/2}$
$f’’(-\sqrt{3/2}) = 12\frac{3}{2}-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=+\sqrt{3/2}$

Calculemos la imagen de los extremos para conocer la segunda coordenada:

$f(0) = 0^4-3 \cdot 0^2 = 0 \Longrightarrow MAX(0,0)$
$f\left(-\sqrt{3/2} \right) = \left( -\sqrt{3/2}\right)^4-3 \cdot \left( -\sqrt{3/2} \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(-\sqrt{3/2}, -2.25)$
$f\left(+\sqrt{3/2} \right) = \left( +\sqrt{3/2}\right)^4-3 \cdot \left( +\sqrt{3/2} \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(+\sqrt{3/2}, -2.25)$

Gráfica

Con los datos obtenidos anteriormente:

podemos ya dibujar la gráfica:

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