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Paralelismo y perpendicularidad de rectas en el plano

Sean L1 y L2 las rectas de ecuación

L1 \longrightarrow (c+1)x - 4y - (c-1) = 0
L2 \longrightarrow  y= \frac{-1}{3} x + 1

donde c \in R

a) Determinar el valor de c para el cual la recta L1 ea perpendicular a la recta L2. Escribir la ecuación de la recta L1

b) Hallar analíticamente el punto de intersección de las rectas L1 y L2 y verificar gráficamente el resultado hallado.

c) Encontrar la ecuación de la recta L que es paralela a la recta L1 y pasa por el punto P= ( -1/3 , 1/3)

SOLUCIÓN

El paralelismo y perpendicularidad de rectas en el plano se puede tratar mediante los vectores directores de las rectas o mediante sus pendientes.
En este ejercicio lo haremos con las pendientes.

Recordemos que la pendiente (m) de una recta es el coeficiente de "x" en la ecuación explícita


\begin{array}{rl}
y=& \fbox{m}x + n \\
 & \: \: \uparrow   \\
  & pendiente    
\end{array}

También debemos recordar que dos rectas son paralelas cuando tengan la misma pendiente, y son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes vale -1.

Expresemos ambas rectas en forma explícita para conocer su pendientes:

(c+1)x - 4y - (c-1) = 0
 - 4y  = -(c+1)x + (x-1)

  y  = \frac{-(c+1)x + (c-1)}{-4}

  y  = \frac{-(c+1)x}{-4} + \frac{(c-1)}{-4}

  y  = \textcolor{blue}{\frac{c+1}{4}} \cdot x + \frac{c-1}{-4}

La otra recta (L2) ya viene en ecuación explícita

y= \textcolor{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot x + 1

(en azul las pendientes)

a) Para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe valer -1

L1 \perp L2 \Longleftrightarrow \frac{c+1}{4} \cdot \frac{-1}{3} = -1 \Longleftrightarrow \frac{(c+1) \cdot (-1)}{4 \cdot 3}=-1

 \frac{-c-1}{12}=-1 \Longleftrightarrow -c-1=-12 \Longleftrightarrow -c = -11 \Longleftrightarrow \textcolor{red}{c=11}

La recta L1 quedaría de la forma:

L1 \longrightarrow 12x-4y-10=0

b) Para calcular el punto de intersección de ambas rectas, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas

\left.
12x -4 y -  10=0 \atop
y= \frac{-1}{3} x + 1
\right\}

Se puede resolver por sustitución (pues tenemos y despejada en la 2ª ecuación).

12x - 4 \cdot \left(  \frac{-1}{3} x + 1  \right) - 10 = 0

Operando, calculando y simplificando llegamos a las soluciones:

x= \frac{42}{40} = 1.05

y= 0.65

Por tanto, las rectas se cortan en el punto (1.05,0.65)
Intersección entre dos rectas

c) Buscamos una paralela a L1 que pase por P= ( -1/3 , 1/3)

Expresamos L1 en forma explícita

y = 3x - \frac{5}{2}

Cualquier recta paralela será de la forma y = 3x + D

Para calcular D, le hacemos que pase por ( -1/3 , 1/3)

\frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{-1}{3} + D

Operando obtenemos que D = \frac{4}{3}

Por tanto la paralela que nos piden es:

y = 3x + \frac{4}{3}

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