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Ecuaciones Irracionales

Resuelve la ecuación:
$\left( \sqrt{x}-x+2 \right) \cdot x= 0$

SOLUCIÓN

$\left( \sqrt{x}-x+2 \right) \cdot x= 0$
Lo primero que vemos es un producto de dos factores igualado a cero

$\underbrace{\left( \sqrt{x}-x+2 \right)}_{(1)} \cdot \underbrace{x}_{(2)}= 0$

Para que el resultado sea cero hay dos posibilidades: que el primer factor sera cero o que el segundo factor sea cero
– (1) $\sqrt{x}-x+2 = 0$
– (2)

– De (2) ya tenemos una solución de la ecuación: $\fbox{x=0}$
– De (1) tenemos una ecuación irracional, que resolvemos a continuación

$\sqrt{x}-x+2 = 0$

Aislamos la raíz y elevamos al cuadrado

$\sqrt{x}= x-2$

$\left(\sqrt{x} \right)^2= (x-2)^2$

– En el primer miembro se simplifica cuadrado con raíz cuadrada
– En el 2º miembro se aplica productos notables

$\left(\cancel{\sqrt}{\overline{x}} \right)^{\cancel{2}}= x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2$

Aplicamos la fórmula de la ecuación de 2º grado

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{5+3}{2}=4\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot1\cdot4}}{2 \cdot1}= \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{5-3}{2}=1\end{array}$

Recordemos que en las ecuaciones irracionales hay que comprobar las soluciones:
– Si

$\left( \sqrt{4}-4+2 \right) \cdot 4= 0$ CIERTO
– Si

$\left( \sqrt{1}-1+2 \right) \cdot 1= 0$ FALSO

Por tanto, las soluciones de la ecuación original son $\fbox{x=0}$ y $\fbox{x=4}$