Ecuaciones Irracionales

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Resuelve la ecuación:
\left( \sqrt{x}-x+2 \right) \cdot x= 0

SOLUCIÓN

\left( \sqrt{x}-x+2 \right) \cdot x= 0
Lo primero que vemos es un producto de dos factores igualado a cero

\underbrace{\left( \sqrt{x}-x+2 \right)}_{(1)} \cdot \underbrace{x}_{(2)}= 0


Para que el resultado sea cero hay dos posibilidades: que el primer factor sera cero o que el segundo factor sea cero
– (1) \sqrt{x}-x+2 = 0
– (2) x = 0

– De (2) ya tenemos una solución de la ecuación: \fbox{x=0}
– De (1) tenemos una ecuación irracional, que resolvemos a continuación

\sqrt{x}-x+2 = 0


Aislamos la raíz y elevamos al cuadrado

\sqrt{x}= x-2


\left(\sqrt{x} \right)^2= (x-2)^2


– En el primer miembro se simplifica cuadrado con raíz cuadrada
– En el 2º miembro se aplica productos notables

\left(\cancel{\sqrt}{\overline{x}} \right)^{\cancel{2}}= x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2


x= x^2 + 4 - 4x


x^2 - 5x+4=0


Aplicamos la fórmula de la ecuación de 2º grado

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{5+3}{2}=4\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot1\cdot4}}{2 \cdot1}= \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{5-3}{2}=1\end{array}


Recordemos que en las ecuaciones irracionales hay que comprobar las soluciones:
– Si x=4
\left( \sqrt{4}-4+2 \right) \cdot 4= 0 CIERTO
– Si x=1
\left( \sqrt{1}-1+2 \right) \cdot 1= 0 FALSO

Por tanto, las soluciones de la ecuación original son \fbox{x=0} y \fbox{x=4}