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Ecuaciones

Resuelve la ecuación
$(x^2 - 9) \cdot (\sqrt{x} + 3) = 0$

SOLUCIÓN

$(x^2 - 9) \cdot (\sqrt{x} + 3) = 0$

Tenemos un producto de 2 factores igualado a cero, eso quiere decir que alguno de esos factores es cero. Las posibilidades son las siguientes:

$x^2 - 9= 0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x = \sqrt{9} \Rightarrow x= \pm 3$
$\sqrt{x} + 3=0$
Es una ecuación irracional. Debemos aislar a raíz y elevar al cuadrado ambos miembros.
$\sqrt{x} + 3=0$
$\sqrt{x} = -3$
$(\sqrt{x})^2 = (-3)^2$

Tenemos 3 posibles soluciones: 3, -3 y 9

Debemos recordar que cuando trabajamos con ecuaciones irracionales hay que verificar las soluciones (al elevar al cuadrado estamos aumentando el grado de la ecuación y puede que añadiendo soluciones falsas).

Comprobamos cada una de las soluciones:

Para x=3
$(3^2 - 9) \cdot (\sqrt{3} + 3) = 0$
$0 \cdot (\sqrt{3} + 3) = 0$
x=3 es una solución correcta

Para x=3
$((-3)^2 - 9) \cdot (\sqrt{-3} + 3) = 0$
$0 \cdot (\sqrt{-3} + 3) = 0$
$\sqrt{-3}$ no tiene sentido en los números reales
x=-3 NO es una solución correcta en el conjunto de los números reales

Para x=
$(9^2 - 9) \cdot (\sqrt{9} + 3) = 0$
$72 \cdot 6 \neq 0$
x=9 NO una solución correcta

Por tanto, la única solución real de la ecuación es $\fbox{x=3}$

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