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Hallar razones trigonométricas a partir de la tangente

Sabiendo que $tg \: \alpha = \frac{2}{3}$ y que $0 \leq \alpha \leq 90^o$ , halla $cos \:(180^o + \alpha)$

SOLUCIÓN

La estrategia de este problema se divide en dos partes:
primero calculamos $cos \:(\alpha)$ a partir de $tg \: \alpha$
en segundo lugar calculamos $cos \:(180^o + \alpha)$ a partir de $cos \:(\alpha)$

La fórmula que relaciona coseno y tangente es $tg^2 \: \alpha + 1 = \frac{1}{cos^2 \: \alpha}$
Usando el dato del enunciado tendríamos:
$\left( \frac{2}{3} \right)^2 \: + 1 = \frac{1}{cos^2 \: \alpha}$
$\frac{4}{9} + 1 = \frac{1}{cos^2 \: \alpha}$
$\frac{13}{9} = \frac{1}{cos^2 \: \alpha}$
$13 \cdot cos^2 \: \alpha = 1 \cdot 9$
$cos^2 \: \alpha = \frac{9}{13}$
$cos \: \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{13}}$

Como es un ángulo del primer cuadrante $(0 \leq \alpha \leq 90^o)$ , tomamos la solución positiva: $cos \: \alpha = + \sqrt{\frac{9}{13}}$

Los ángulos $\alpha$ y $180 + \alpha$ tienen cosenos iguales pero de distinto signo Ver la explicación, por tanto:

$cos \:(180^o + \alpha) = - \sqrt{\frac{9}{13}}$