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Demuestra que los vectores $\vec{i} (4,0)$ y $\vec{j}(0,3)$ forman una base ortogonal. Expresa el vector $\vec{u} (4,6)$ en función de dicha base.

Dos vectores linealmente independientes forman una base.
Si además son ortogonales (perpendiculares) forman una base ortogonal.

Los vectores $\vec{i} (4,0)$ y $\vec{j}(0,3)$ son linealmente independientes (no son proporcionales) por tanto forman una base.

$\vec{i} \cdot \vec{j} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 =0$
Su producto escalar es 0, por tanto son perpendiculares.
Se trata por tanto de una base ortogonal.

Expresa el vector $\vec{u} (4,6)$ en función de dicha base.

$\vec{u} = \alpha \cdot \vec{i} + \beta \cdot \vec{j}$

$(4,6) = \alpha \cdot (4,0) + \beta \cdot (0,3)$

$(4,6) = (\alpha \cdot 4, \alpha \cdot 0) + (\beta \cdot 0,\beta \cdot 3)$

$(4,6) = (4 \alpha, 0) + (0, 3 \beta)$

$(4,6) = (4 \alpha + 0, 0+3 \beta)$

$(4,6) = (4 \alpha, 3 \beta)$

Por tanto:
$4 = 4 \alpha \longrightarrow \alpha=1$
$6 = 3 \beta \longrightarrow \beta=2$

Entonces:

$\vec{u} = 1 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j}$