Base Ortogonal

Demuestra que los vectores \vec{i} (4,0) y \vec{j}(0,3) forman una base ortogonal. Expresa el vector \vec{u} (4,6) en función de dicha base.

SOLUCIÓN

Dos vectores linealmente independientes forman una base.
Si además son ortogonales (perpendiculares) forman una base ortogonal.

Los vectores \vec{i} (4,0) y \vec{j}(0,3) son linealmente independientes (no son proporcionales) por tanto forman una base.

\vec{i} \cdot \vec{j} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 =0
Su producto escalar es 0, por tanto son perpendiculares.
Se trata por tanto de una base ortogonal.

Expresa el vector \vec{u} (4,6) en función de dicha base.

\vec{u} = \alpha \cdot \vec{i} + \beta \cdot \vec{j}

(4,6) = \alpha \cdot (4,0) + \beta \cdot (0,3)

(4,6) = (\alpha \cdot 4, \alpha \cdot 0) + (\beta \cdot 0,\beta \cdot 3)

(4,6) = (4 \alpha, 0) + (0, 3 \beta)

(4,6) = (4 \alpha + 0, 0+3 \beta)

(4,6) = (4 \alpha, 3 \beta)

Por tanto:
4 = 4 \alpha \longrightarrow \alpha=1
6 = 3 \beta \longrightarrow \beta=2

Entonces:

\vec{u} = 1 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j}