Publicar un mensaje

En respuesta a:

Ejercicio 2659 rectas geometría en el plano

Dados los puntos y , se pide:

– a) Ecuaciones paramétricas, continua y general de la recta que pasa por y
– b) Ángulo que forma la recta anterior con el eje de abcisas
– c) Ecuación de la mediatriz del segmento determinado por y
– d) Distancia de dicha mediatriz al origen de coordenadas

SOLUCIÓN

a) Para las ecuaciones de la recta necesitamos un vector y un punto

$r \equiv \left\{ \begin{array}{l} Punto \longrightarrow A(2,1) \\ Vector \longrightarrow \vec{AB}=(3,1) \end{array} \right.$

Ecuaciones paramétricas $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3 \lambda \\ y= 1 + \lambda \end{array} \right.$

Ecuación continua $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{1}$

Ecuación general $x-2 = 3 (y-1) \longrightarrow x-3y+1=0$

– b) Ángulo que forma la recta anterior con el eje de abcisas

Para hallar el ángulo entre dos rectas, calculamos el ángulo que forman sus vectores directores.

Vector de la recta: $\vec{u}=\vec{AB}=(3,1)$
Vector del eje de abcisas: $\vec{v}=(1,0)$

Si no tiene claro el vector del eje de abcisas, tome dos puntos de dicho eje y construya el vector formado por dos puntos

Para hallar el ángulo de los dos vectores usamos el producto escalar

$\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

$\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{3 \cdot 1+ 1 \cdot 0}{\sqrt{3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

El ángulo es $arc \: cos \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)$

Si usamos la calculadora, obtenemos aproximadamente 18.4 grados

– c) Ecuación de la mediatriz del segmento determinado por A y B

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento por su punto medio.

En primer lugar calculamos el punto medio del segmento AB

$M=\left( \frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{3}{2} \right)$

Ahora necesitamos un vector perpendicular al vector AB (y con punto y vrector ya tendremos la ecuación de la mediatriz)

Vector perpendicular al vector AB sería (-1,3)

Ecuación continua de la mediatriz: $\frac{x-3.5}{-1}=\frac{y-1.5}{3}$

– d) Distancia de dicha mediatriz al origen de coordenadas

Debemos usar la fórmula de la distancia de un punto a una recta

$d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{+\sqrt{A^2+B^2}}$

Para aplicar la fórmula necesitamos la recta en ecuación general

$\frac{x-3.5}{-1}=\frac{y-1.5}{3} \longrightarrow 3 \cdot (x-3.5) = (-1) \cdot (y-1.5)$

$3x-10.5 = -y+1.5 \longrightarrow 3x+y-12=0$

Ya podemos calcular la distancia

$d(P,r)=\frac{|3 \cdot 0+ 1 \cdot 0-12|}{+\sqrt{3^2+1^2}} = \frac{12}{\sqrt{10}}$