Ejercicio 2659 rectas geometría en el plano

Dados los puntos A(2,1) y B(5,2), se pide:

- a) Ecuaciones paramétricas, continua y general de la recta r que pasa por A y B
- b) Ángulo que forma la recta anterior con el eje de abcisas
- c) Ecuación de la mediatriz del segmento determinado por A y B
- d) Distancia de dicha mediatriz al origen de coordenadas

SOLUCIÓN

a) Para las ecuaciones de la recta necesitamos un vector y un punto

r \equiv \left\{
\begin{array}{l}
Punto \longrightarrow A(2,1) \\
Vector \longrightarrow \vec{AB}=(3,1)
\end{array}
\right.

Ecuaciones paramétricas  \left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 3 \lambda \\
y= 1 + \lambda
\end{array}
\right.

Ecuación continua \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{1}

Ecuación general x-2 = 3 (y-1) \longrightarrow x-3y+1=0

- b) Ángulo que forma la recta anterior con el eje de abcisas

Para hallar el ángulo entre dos rectas, calculamos el ángulo que forman sus vectores directores.

Vector de la recta: \vec{u}=\vec{AB}=(3,1)
Vector del eje de abcisas: \vec{v}=(1,0)

Si no tiene claro el vector del eje de abcisas, tome dos puntos de dicho eje y construya el vector formado por dos puntos

Para hallar el ángulo de los dos vectores usamos el producto escalar

\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}


\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{3 \cdot 1+ 1 \cdot 0}{\sqrt{3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

El ángulo es arc \: cos \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)

Si usamos la calculadora, obtenemos aproximadamente 18.4 grados

- c) Ecuación de la mediatriz del segmento determinado por A y B

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento por su punto medio.

En primer lugar calculamos el punto medio del segmento AB

M=\left( \frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{3}{2} \right)

Ahora necesitamos un vector perpendicular al vector AB (y con punto y vrector ya tendremos la ecuación de la mediatriz)

Vector perpendicular al vector AB sería (-1,3)

Ecuación continua de la mediatriz: \frac{x-3.5}{-1}=\frac{y-1.5}{3}

- d) Distancia de dicha mediatriz al origen de coordenadas

Debemos usar la fórmula de la distancia de un punto a una recta

d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{+\sqrt{A^2+B^2}}

Para aplicar la fórmula necesitamos la recta en ecuación general

\frac{x-3.5}{-1}=\frac{y-1.5}{3} \longrightarrow 3 \cdot (x-3.5) = (-1) \cdot (y-1.5)

3x-10.5 = -y+1.5 \longrightarrow 3x+y-12=0

Ya podemos calcular la distancia

d(P,r)=\frac{|3 \cdot 0+ 1 \cdot 0-12|}{+\sqrt{3^2+1^2}} = \frac{12}{\sqrt{10}}