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Plano que pasa por dos puntos y es paralelo a una recta

Calcular la ecuación del plano que pasa por y y es paralelo a la recta $r \equiv \left\{ x - y + z = 0 \atop 2x + y = 3 \right.$

SOLUCIÓN

Recordemos que para determinar un plano se necesita una de estas opciones:
– un punto y un vector perpendicular al plano
– un punto y dos vectores paralelos al plano

Elegimos la segunda opción:

– como punto tomamos P (también podemos elegir Q)
– como vectores tomamos el vector PQ y el vector director de la recta

$\pi \equiv \left\{ \begin{array}{l} P(0,1,5) \\ \vec{PQ}=(3, 3, -2) \\ \vec{u_r} \end{array} \right.$

Para obtener el vector director $\vec{u_r}$ de la recta tenemos varios métodos, uno de ellos es pasar la recta a ecuaciones paramétricas:

$\left. \begin{array}{r} x - y + z = 0 \\ 2x + y = 3 \end{array} \right \} \longrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x=t \\- y + z = -t \longrightarrow z=-t+y \longrightarrow z=3-3t \\ y = 3 - 2t \end{array} \right.$

Quedaría así: $r\equiv \left\{ \begin{array}{lr} x = & t \\ y = 3 &-2t \\ z= 3 & -3t \end{array} \right.$
Por tanto su vector director es $\vec{u_r=(1,-2,-3)}$

Ya tendríamos determinado el plano

$\pi \equiv \left\{ \begin{array}{l} P(0,1,5) \\ \vec{PQ}=(3, 3, -2) \\ \vec{u_r}=(1,-2,-3) \end{array} \right.$

Hallamos su ecuación general

$\pi \equiv \left| \begin{array}{ccc} x & y-1 & z-5 \\ 3 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & -3 \end{array} \right| = 0$

$\pi \equiv \fbox{\textcolor{blue}{\bm{-13x+7y-9z+38=0}}}$