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Plano que pasa por dos puntos y es paralelo a una recta

Calcular la ecuación del plano que pasa por P(0,1,5) y Q=(3,4,3) y es paralelo a la recta r \equiv \left\{
x - y + z = 0 \atop
2x + y = 3
\right.

SOLUCIÓN

Recordemos que para determinar un plano se necesita una de estas opciones:
- un punto y un vector perpendicular al plano
- un punto y dos vectores paralelos al plano

Elegimos la segunda opción:

- como punto tomamos P (también podemos elegir Q)
- como vectores tomamos el vector PQ y el vector director de la recta

\pi \equiv \left\{
\begin{array}{l}
P(0,1,5) 
\\ \vec{PQ}=(3, -3, -2)
\\ \vec{u_r}
\end{array}
\right.

Para obtener el vector director \vec{u_r} de la recta tenemos varios métodos, uno de ellos es pasar la recta a ecuaciones paramétricas:

\left.
\begin{array}{r}
x - y + z = 0
\\ 2x + y = 3
\end{array}
\right \} \longrightarrow 
\left \{
\begin{array}{l}
x=t
\\- y + z = -t \longrightarrow z=-t+y  \longrightarrow z=3-3t
\\ y = 3 - 2t
\end{array}
\right.

Quedaría así: r\equiv \left\{
\begin{array}{lr}
x  = & t
\\ y = 3 &-2t
\\ z= 3 & -3t
\end{array}
\right.
Por tanto su vector director es \vec{u_r=(1,-2,-3)}

Ya tendríamos determinado el plano

\pi \equiv \left\{
\begin{array}{l}
P(0,1,5) 
\\ \vec{PQ}=(3, -3, -2)
\\ \vec{u_r}=(1,-2,-3)
\end{array}
\right.

Hallamos su ecuación general


\pi \equiv \left| \begin{array}{ccc} 
x & y-1 & z-5 \\
3 & -3 & -2 \\
1 & -2 & -3
\end{array} \right| = 0

\pi \equiv \fbox{\textcolor{blue}{\bm{5x+7y-3z+8=0}}}

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